Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Электрический заряд распределён по объёму бесконечного цилиндра радиуса R с объёмной плотностью p=p0 (r/R). С помощью теоремы Гаусса вычислить напряженность Е (вектор) и потенциал ф электрического поля системы во всём пространстве.

По-видимому, уже поздно, но раз тема всплыла снова, то имею сказать следующее.
Поток вектора напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r равен Ф=E*S=E*2*pi*r*L, L - высота цилиндра (поток через основания равен 0, так как из соображений симметрии вектор Е направлен перпендикулярно оси цилиндра).
Заряд, охваченный этой поверхностью, при r<R, дается выражением q=int_{0}^{r} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = 2*pi*rho0*L*r^3/(3R),
а при r>=R q=Q=int_{0}^{R} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = (2/3)*pi*rho0*L*R^2
Отсюда для напряженности Е поля внутри цилиндра имеем: E=rho0*r^2/(3*eps0*R), а вне цилиндра: E=rho0*R^2/(3*eps0*r)
Отсюда находим зависимость потенциала от расстояния от оси цилиндра, учитывая, что E= - d phi/d r. Константы интегрирования обычно находят из условия, что потенциал на бесконечности равен 0, а также то, что потенциал не меняется скачкообразно (условие непрерывности). Но, по-моему, в данном случае с потенциалом на бесконечном удалении от цилиндра не все так просто...

Теперь с определением напряженности поля у Вас все прекрасно. Но при определении потенциала поля бесконечно больших заряженных тел константу интегрирования не надо находить из условия, что потенциал на бесконечности равен 0. Так как он не обязан быть равен там нулю. (Как например в этой задаче. ) Зависимость потенциала легко найти, если принять нулевым потенциал на поверхности тела, к примеру. А константы интегрирования найдете из условие непрерывности, о котором Вы упомянули.

Спасибо большое, за Ваш труд. Надеюсь Ваше решение многим пригодиться. с уважением Влад.