Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Deaddy 19.5.2007, 19:54

Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Электрический заряд распределён по объёму бесконечного цилиндра радиуса R с объёмной плотностью p=p0 (r/R). С помощью теоремы Гаусса вычислить напряженность Е (вектор) и потенциал ф электрического поля системы во всём пространстве.

Автор: Deaddy 22.5.2007, 15:20

Неужели никто не может решить?

Автор: alxdr 23.5.2007, 5:55

Во-первых, не надо повторяться и давить на людей, если кто может и хочет, то поможет, если нет - то это ваша проблема. Никто, собственно говоря не обязан вам помогать. Теперь по поводу задачи:
рассмотрим концентрический цилиндр с радиусом сечения r<R
пишем чему равен поток - FI=E*S=E*2*pi*r*L, L - высота цилиндра.
Также FI=q/eps0, q - заключенный заряд. q=pho*pi*r^2*L=rho0*(r/R)*pi*r^2*L=rho0*pi*r^3*L/R.
Теперь интегрируем от 0 до R и находим рез. напряженность E=int(0 до R)((rho0*r^2)/(2*eps0*R).

Автор: Deaddy 24.5.2007, 11:44

Цитата(alxdr @ 23.5.2007, 8:55)

Во-первых, не надо повторяться и давить на людей, если кто может и хочет, то поможет, если нет - то это ваша проблема. Никто, собственно говоря не обязан вам помогать.

Простите, просто это было для меня очень важно. Спасибо за помощь.

Автор: Vlad 6.6.2007, 11:42

Цитата(alxdr @ 23.5.2007, 9:55)

Во-первых, не надо повторяться и давить на людей, если кто может и хочет, то поможет, если нет - то это ваша проблема. Никто, собственно говоря не обязан вам помогать. Теперь по поводу задачи:
рассмотрим концентрический цилиндр с радиусом сечения r<R
пишем чему равен поток - FI=E*S=E*2*pi*r*L, L - высота цилиндра.
Также FI=q/eps0, q - заключенный заряд. q=pho*pi*r^2*L=rho0*(r/R)*pi*r^2*L=rho0*pi*r^3*L/R.
Теперь интегрируем от 0 до R и находим рез. напряженность E=int(0 до R)((rho0*r^2)/(2*eps0*R).

Использовав теорему Гаусса, Вы получили зависимость напряженности поле E®, а после интегрирования зависимоcть потенциала fi®

В Вашем решении определенный интеграл - зто разность потенциалов между любой точки на оси цилиндра и точка на его поверхности.

Будьте внминательны, когда подсказываете.

С уважением, Влад

Автор: Владимир 6.6.2007, 13:09

По-видимому, уже поздно, но раз тема всплыла снова, то имею сказать следующее.
Поток вектора напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r равен Ф=E*S=E*2*pi*r*L, L - высота цилиндра (поток через основания равен 0, так как из соображений симметрии вектор Е направлен перпендикулярно оси цилиндра).
Заряд, охваченный этой поверхностью, при r<R, дается выражением q=int_{0}^{r} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = 2*pi*rho0*L*r^3/(3R),
а при r>=R q=Q=int_{0}^{R} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = (2/3)*pi*rho0*L*R^2
Отсюда для напряженности Е поля внутри цилиндра имеем: E=rho0*r^2/(3*eps0*R), а вне цилиндра: E=rho0*R^2/(3*eps0*r)
Отсюда находим зависимость потенциала от расстояния от оси цилиндра, учитывая, что E= - d phi/d r. Константы интегрирования обычно находят из условия, что потенциал на бесконечности равен 0, а также то, что потенциал не меняется скачкообразно (условие непрерывности). Но, по-моему, в данном случае с потенциалом на бесконечном удалении от цилиндра не все так просто...

Автор: Vlad 9.6.2007, 13:32

Цитата(Владимир @ 6.6.2007, 17:09)

По-видимому, уже поздно, но раз тема всплыла снова, то имею сказать следующее.
Поток вектора напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r равен Ф=E*S=E*2*pi*r*L, L - высота цилиндра (поток через основания равен 0, так как из соображений симметрии вектор Е направлен перпендикулярно оси цилиндра).
Заряд, охваченный этой поверхностью, при r<R, дается выражением q=int_{0}^{r} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = 2*pi*rho0*L*r^3/(3R),
а при r>=R q=Q=int_{0}^{R} (rho0*(r/R)*2*pi*r*L) dr = (2/3)*pi*rho0*L*R^2
Отсюда для напряженности Е поля внутри цилиндра имеем: E=rho0*r^2/(3*eps0*R), а вне цилиндра: E=rho0*R^2/(3*eps0*r)
Отсюда находим зависимость потенциала от расстояния от оси цилиндра, учитывая, что E= - d phi/d r. Константы интегрирования обычно находят из условия, что потенциал на бесконечности равен 0, а также то, что потенциал не меняется скачкообразно (условие непрерывности). Но, по-моему, в данном случае с потенциалом на бесконечном удалении от цилиндра не все так просто...

Теперь с определением напряженности поля у Вас все прекрасно. Но при определении потенциала поля бесконечно больших заряженных тел константу интегрирования не надо находить из условия, что потенциал на бесконечности равен 0. Так как он не обязан быть равен там нулю. (Как например в этой задаче. ) Зависимость потенциала легко найти, если принять нулевым потенциал на поверхности тела, к примеру. А константы интегрирования найдете из условие непрерывности, о котором Вы упомянули.

Спасибо большое, за Ваш труд. Надеюсь Ваше решение многим пригодиться. с уважением Влад.

Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате