Помогите, пожалуйста, разобраться.
Через точку прямого угла провести прямую так, чтобы периметр получившегося треугольника был наименьшим.

Я так думаю, что нужно составить функцию периметра, и потом берем от нее производную.
Не могу понять от чего эта фунция должна зависеть.

Например от угла, который проведенная прямая составляет со второй стороной угла.
Либо от длины отрезка, который отсекает прямая от второй стороны угла.

Спасибо за ответ.
Пусть точка прямого угла - С.
Обычно, в подобных задачах что-то дано, можно ли координаты точки С принять как постоянные (с1, с2)?
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А и образует с осью Ох угол а.
Тогда с2=tg а*с1+b
Тогда ОА=2*с1+b/tg а, ОВ=b, АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((2*с1+b/tg а)^2+b^2)^(1/2)
Получается периметр зависит от угла а и b (c1 считаем константой)
Может я что-то не так понимаю, или решаю не так .....

Так ведь и с2 Вы тоже считаете константой, и тогда из с2=tg а*с1+b можно выразить b через а (или наоборот).

Тогда
b=с2-c1*tg а
ОА=с1+c2*ctg a
ОВ=с2-c1*tg а
АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

P(a)=с1+с2*ctg a+с2-c1*tg а+((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

Теперь надо находить производную, я так понимаю, но она получается просто ооочень "непреобразуемая"...
Может где-то ошибка в моих рассуждениях выше?

Я пробовала и через длину отрезка, который отсекает прямая от стороны прямого угла.
С(с1,с2) - точка прямого угла
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А.

Пусть ОА=х.
Тогда ОВ=с2*х/(х-с1)
АВ=(x^2+(с2*х/(х-с1))^2)^(1/2)
И тоже упираюсь в то, что не могу решить уравнение P ' (x)=0...

Уважаемые преподаватели и активные участники форума!
Пожалуйста, помогите Svetе (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) (и мне)
Задание было на предварительных госах....
Может мы условие не понимаем...

venja, вот Вы в обоих предложениях употребили "на ВТОРОЙ стороне угла". Почему? Это важно?

Я неправильно понимал условие - думал, что точка должна браться на одной из сторон угла (тогда другая сторона - вторая и есть).

Решил.
Но решение достаточно громоздкое, хотя по дороге применял много хитрых упрощающих преобразований (писать их очень громоздко).
Приведу основные этапы.
Пусть точка, через которую проходят прямые, имеет (фиксированные) координаты (а,b ).Пусть х - ОСТРЫЙ угол, под которым прямая пересекает ось абсцисс (меняющийся параметр от 0 до пи/2).
Обозначим k=a/b.
Тогда периметр прямоуг. тр-ка можно выразить так:
P=b*(1+ctgx+1/sinx+k*tgx+k+k/cosx)
Тогда производная:
P'=b*{k/(1-sinx)-1/(1-cosx)}
Приравнивая ее к 0, получим уравнение:
sinx-k*cosx=1-k

Получил следующее решение этого уравнения:

x=arcsin[(1-k+k*sqrt(2*k))/(1+k^2)]

Думаю, что формула верна, так как при проверяемых значениях k дает правильные значения:
при k=0 дает х=пи/2
при k=бесконечности дает х=0
и очень важно, что
при k=1 дает х=пи/4

Странно, что такое дают студентам (IMG:style_emoticons/default/mad.gif)

Возможно, подразумевалось, что точка лежит на стороне угла.

Сначала я так и подумал - это видно по моему первому ответу (вспоминал определение угла...).
Но по дальнейшему диалогу решил, что это не так. Но может быть все-таки точка на стороне. Но вообще-то угол, насколько я помню, это и внутренность тоже. Непонятно.

Да нет. Все правильно. Точка никак не может быть на стороне угла. Иначе задача не имеет решения.

Большое спасибо за решение, было интересно докопаться до истины.

При этом, это задание с гос. экаменов, где было еще 4 задания:
система из трех ДУ,
дополнить два вектора пр-ва R5 до ортогон. базиса (Гаусс...),
задача по теории вероятности,
и по программированию, написать программку на С++(без компьютера...)

и все это на три часа!!! (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)

Мне тоже кажется, что для проверки знаний по мат. анализу
можно найти массу других интересных заданий (без громоздких выкладок)...
P.S. venja, спасибо за решение.