Версия для печати темы

Автор: Sveta 14.5.2007, 9:55

Помогите, пожалуйста, разобраться.
Через точку прямого угла провести прямую так, чтобы периметр получившегося треугольника был наименьшим.

Я так думаю, что нужно составить функцию периметра, и потом берем от нее производную.
Не могу понять от чего эта фунция должна зависеть.

Автор: venja 14.5.2007, 10:32

Например от угла, который проведенная прямая составляет со второй стороной угла.
Либо от длины отрезка, который отсекает прямая от второй стороны угла.

Автор: Sveta 14.5.2007, 17:29

Спасибо за ответ.
Пусть точка прямого угла - С.
Обычно, в подобных задачах что-то дано, можно ли координаты точки С принять как постоянные (с1, с2)?
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А и образует с осью Ох угол а.
Тогда с2=tg а*с1+b
Тогда ОА=2*с1+b/tg а, ОВ=b, АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((2*с1+b/tg а)^2+b^2)^(1/2)
Получается периметр зависит от угла а и b (c1 считаем константой)
Может я что-то не так понимаю, или решаю не так .....

Автор: A_nn 14.5.2007, 18:32

Так ведь и с2 Вы тоже считаете константой, и тогда из с2=tg а*с1+b можно выразить b через а (или наоборот).

Автор: Sveta 14.5.2007, 19:53

Тогда
b=с2-c1*tg а
ОА=с1+c2*ctg a
ОВ=с2-c1*tg а
АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

P(a)=с1+с2*ctg a+с2-c1*tg а+((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

Теперь надо находить производную, я так понимаю, но она получается просто ооочень "непреобразуемая"...
Может где-то ошибка в моих рассуждениях выше?

Автор: Lion 16.5.2007, 18:27

Я пробовала и через длину отрезка, который отсекает прямая от стороны прямого угла.
С(с1,с2) - точка прямого угла
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А.

Пусть ОА=х.
Тогда ОВ=с2*х/(х-с1)
АВ=(x^2+(с2*х/(х-с1))^2)^(1/2)
И тоже упираюсь в то, что не могу решить уравнение P ' (x)=0...

Уважаемые преподаватели и активные участники форума!
Пожалуйста, помогите Svetе (и мне)
Задание было на предварительных госах....
Может мы условие не понимаем...

venja, вот Вы в обоих предложениях употребили "на ВТОРОЙ стороне угла". Почему? Это важно?

Автор: venja 17.5.2007, 2:49

Я неправильно понимал условие - думал, что точка должна браться на одной из сторон угла (тогда другая сторона - вторая и есть).

Автор: venja 17.5.2007, 14:22

Решил.
Но решение достаточно громоздкое, хотя по дороге применял много хитрых упрощающих преобразований (писать их очень громоздко).
Приведу основные этапы.
Пусть точка, через которую проходят прямые, имеет (фиксированные) координаты (а,b ).Пусть х - ОСТРЫЙ угол, под которым прямая пересекает ось абсцисс (меняющийся параметр от 0 до пи/2).
Обозначим k=a/b.
Тогда периметр прямоуг. тр-ка можно выразить так:
P=b*(1+ctgx+1/sinx+k*tgx+k+k/cosx)
Тогда производная:
P'=b*{k/(1-sinx)-1/(1-cosx)}
Приравнивая ее к 0, получим уравнение:
sinx-k*cosx=1-k

Получил следующее решение этого уравнения:

x=arcsin[(1-k+k*sqrt(2*k))/(1+k^2)]

Думаю, что формула верна, так как при проверяемых значениях k дает правильные значения:
при k=0 дает х=пи/2
при k=бесконечности дает х=0
и очень важно, что
при k=1 дает х=пи/4

Странно, что такое дают студентам

Автор: A_nn 18.5.2007, 8:11

Возможно, подразумевалось, что точка лежит на стороне угла.

Автор: venja 18.5.2007, 10:11

Сначала я так и подумал - это видно по моему первому ответу (вспоминал определение угла...).
Но по дальнейшему диалогу решил, что это не так. Но может быть все-таки точка на стороне. Но вообще-то угол, насколько я помню, это и внутренность тоже. Непонятно.

Автор: venja 18.5.2007, 13:58

Да нет. Все правильно. Точка никак не может быть на стороне угла. Иначе задача не имеет решения.

Автор: Sveta 19.5.2007, 15:16

Большое спасибо за решение, было интересно докопаться до истины.

При этом, это задание с гос. экаменов, где было еще 4 задания:
система из трех ДУ,
дополнить два вектора пр-ва R5 до ортогон. базиса (Гаусс...),
задача по теории вероятности,
и по программированию, написать программку на С++(без компьютера...)

и все это на три часа!!!

Автор: Lion 19.5.2007, 15:46

Мне тоже кажется, что для проверки знаний по мат. анализу
можно найти массу других интересных заданий (без громоздких выкладок)...
P.S. venja, спасибо за решение.