или разбиваем на 2 интеграла
2*int ((-t^2+t)/sqrt(1-t^2))dt = 2t/sqrt(1-t^2)) + (-2t^2)/(sqrt(1-t^2)))=J1+J2
J1 решается внесением под знак дифференциала t^2
J2 решается через подстановку t=siny

Или так. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

после дифференцирования:
2*((-t^2 + t)/sqrt(1-t^2))=A*sqrt(1-t^2) + (At+B )*(-t)/sqrt(1-t^2) +
y/sqrt(1-t^2)
после доумножения на sqrt:
-2t^2+2t=A*(1-t^2) - At^2 -Bt + y
отсюда:
A=1
B=-2
y=-1
подставляю:
2*int(-t^2+t)/sqrt(1-t^2) dt=(t-2)*sqrt(1-t^2) - int dt/sqrt(1-t^2) =
(t-2)*sqrt(1-t^2) - arcsin(t) + c
т.к x^2=t =>
= (x^2 - 2)*sqrt(1-x^4)- arcsin(x^2) + c

Правильно?)

очень похоже на правду

Где такое взяли?

Для проверки продифференцируйте ответ. получите подынтегральную функцию?

ой, перепутал x=t^2
тогда ответ:
(sqrt(x)-2)*sqrt(1-x)-arcsin(sqrt(x)) + c ?

Вроде теперь так.

поясните, что вы говорили про проверку, найти производную от ответа?

Да, если после преобразований получите подынтегральную функцию, то все сделано верно.