Исследовать на сходимость ряд arcsin((n-1)/n) / (n^3 - n)^1/3 . Очевидно расходится, оценеваю как >= arcsin ((n-1)/n) / n. Помогите пожалуйста, кто знает, чем можно arcsin заменить ?

Так, хотя звучит как-то коряво - как будто Вы только что обнаружили расходимость двух рядов.

Имеем два ряда с положительными членами \sum a_n и \sum b_n и отношение a_n/b_n имеет конечный ненулевой предел. Тогда либо оба ряда сходятся либо оба расходятся. Про один из них Вам известно, что он расходится. Следовательно расходится и другой.