Добрый день.
Проверьте, пожалуйста, решение - я сомневаюсь.
x*y''-2*y'=x^4
y'=p
x*p'-2*p=x^4
x*p'=2*p
x*dp/dx=2*p
dp/p=2*dx/x
p=c1*x^2
y'=c1*x^2
dy/dx=c1*x^2
dy=c1*x^2 dx
y=c1*(x^3)/3+c2

и, подставив начальные условия, получаю
c1=4
c2=-17/15

тогда
y=(4*x^3)/3-17/15

а как же правая часть уравнения?

Неправильное решение. Не учитывается правая часть уравнения.
x*p'-2*p=x^4
1) x * p' - 2p = 0 => p = C1 * x^2
2) p = C1 (x) * x^2 и x * p' - 2p = x^4
Получаем, что C1'(x) * x^3 = x^4 => C1(x) = 1/2 * x^2 + C1
Тогда
p = (1/2 * x^2 + C1) * x^2 = 1/2 * x^4 + C1 * x^2