 Исследовать на равномерную сх-ть |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
  |
| Julia11 |
 8.4.2009, 19:22
Сообщение
#1
|
|
Школьник  Группа: Продвинутые Сообщений: 24 Регистрация: 4.4.2009 Город: Moscow-city) Учебное заведение: ГУУ Вы: студент  |
Здравствуйте!
Нужно исследовать на равномерную сх-ть: сумма от n=1 до оо (x^(n) - x^(2n)), 0<=x<=1. Чему равно Sn(x) и как ее искать? Заранее спасибо за помощь! |
   |
 
|
| venja |
9.4.2009, 7:16
Сообщение
#2
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Sn(x) имеет вид разности сумм двух геометрических прогрессий. Для каждой суммы есть формула.
|
|
|
|
| Stensen |
9.4.2009, 8:44
Сообщение
#3
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 224 Регистрация: 6.11.2008 Город: Moscow Учебное заведение: МГУ |
Теорема: {Fn(x)} - фукц-ая послед-ть сходится равномерно на множ-ве Х=[0,...,1] <=>
lim sup |Fn(x)-F(x)| =0, при n->∞, для всех х из Х, где: F(x) = lim Fn(x), при n->∞. Алгоритм: 1. F(x) = lim Fn(x) = lim (x^n - x^(2n)) при n->∞. 2. Найти x из Х, при которых |Fn(x)-F(x)| -> max, это и есть sup |Fn(x)-F(x)| на Х. С помощью производной исследуем Fn(x)-F(x) на мах, подставляем этот х в |Fn(x)-F(x)| и ищем lim. 3. Применяем Теорему. Итак: 1. F(x)=0 2. х=1/2^(1/n), sup |Fn(x)-F(x)| = |Fn(x)-F(x)| = 1/4 3. lim sup |Fn(x)-F(x)| = 1/4 не равен 0, при n->∞. Значит сходится неравномерно (только по-точечно). |
|
|
|
| Julia11 |
9.4.2009, 13:35
Сообщение
#4
|
|
Школьник Группа: Продвинутые Сообщений: 24 Регистрация: 4.4.2009 Город: Moscow-city) Учебное заведение: ГУУ Вы: студент |
Цитата(Stensen @ 9.4.2009, 12:44)  Теорема: {Fn(x)} - фукц-ая послед-ть сходится равномерно на множ-ве Х=[0,...,1] <=> lim sup |Fn(x)-F(x)| =0, при n->∞, для всех х из Х, где: F(x) = lim Fn(x), при n->∞. ... Всё бы хорошо, только у меня не функциональная посл-ть, а функциональный ряд. Нужно находить Sn(x). Я нашла, дальше чё т не знаю как... Как-то слишком страшно находить |Sn(x)-S(x)| и еще к тому же sup...   |
|
|
|
| Stensen |
9.4.2009, 13:42
Сообщение
#5
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 224 Регистрация: 6.11.2008 Город: Moscow Учебное заведение: МГУ |
|
|
|
|
| Julia11 |
10.4.2009, 21:17
Сообщение
#6
|
|
Школьник Группа: Продвинутые Сообщений: 24 Регистрация: 4.4.2009 Город: Moscow-city) Учебное заведение: ГУУ Вы: студент |
Цитата(venja @ 9.4.2009, 11:16) Sn(x) имеет вид разности сумм двух геометрических прогрессий. Для каждой суммы есть формула. Спасибо! Я посчитала Sn(x) и S(x). Решение выложено в этой теме в другом сообщении "Дата 9.4.2009, 17:35". Там есть пара вопросов, но ничего существенного это не привнесет. Самое "веселое" - это равномерная сх-ть... По какой теореме или свойству лучше доказывать в этой задаче? Буду ОЧЕНЬ признательна за помощь! |
|
|
|
| venja |
11.4.2009, 5:02
Сообщение
#7
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся.
Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм. Если я не ошибся, то получается так. Sn(x) = x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 Переходя к пределу, получим S(x)= x/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)). Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие. Проверьте. |
|
|
|
| A_nn |
11.4.2009, 6:47
Сообщение
#8
|
|
Ассистент Группа: Преподаватели Сообщений: 720 Регистрация: 26.2.2007 Город: СПб Вы: преподаватель |
Цитата(venja @ 11.4.2009, 9:02) Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся. Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм. Если я не ошибся, то получается так. Sn(x) = x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 Переходя к пределу, получим S(x)= x/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)). Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие. Проверьте. Наверное, можно и непосредственно указать \epsilon>0 такое, что для любого N найдется n>N и x\in[0,1], что |S_n(x)-S(x)|>\epsilon (ну т.е. х и n явно указать. Ручки нет под рукой, а в уме не получается). P.S. Всем привет (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) |
|
|
|
| venja |
11.4.2009, 9:10
Сообщение
#9
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Неужели Nutik вернулась?! (IMG:style_emoticons/default/ohmy.gif)
Надеюсь, надолго? Еще бы Lion дождаться! И все дома. |
|
|
|
| Stensen |
13.4.2009, 15:15
Сообщение
#10
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 224 Регистрация: 6.11.2008 Город: Moscow Учебное заведение: МГУ |
Как вариант,для док-ва неравномерной сходимости ряда можно воспользоваться моим более ранним постом в этом же вопросе, где я показал неравномерную сход-сть функц-ой послед-ти: Fn(x)= x^n-x^2n. Было показано, что при x=1/2^(1/n): sup |Fn(x)-F(x)| = |Fn(x)-F(x)| = epcilon =1/4, т.е. остаток ряда не стремится к 0. Вроде так.
|
|
|
|
| Julia11 |
13.4.2009, 20:48
Сообщение
#11
|
|
Школьник Группа: Продвинутые Сообщений: 24 Регистрация: 4.4.2009 Город: Moscow-city) Учебное заведение: ГУУ Вы: студент |
Цитата(venja @ 11.4.2009, 9:02) Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся. Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм. Если я не ошибся, то получается так. Sn(x) = x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 Переходя к пределу, получим S(x)= x/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)). Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие. Проверьте. Да, есть такая теорема и на паре мы доказывали по этой теореме и аналитически с epsilon этим ужасным. У вас отличнейшая память! =) я эти теоремы благополучно забываю после коллка или экзамена. Сдам задачу по этой теореме... Если вернет и попросит аналитически - придется искать Epsilon. И еще не слишком очевидно что Sn(x) непрерывные. Я нарисовала) Как аналитически док-ть, что непрерывные на [0,1]? Спасибо за помощь! |
|
|
|
| venja |
14.4.2009, 5:26
Сообщение
#12
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Там только точка х=1 вызывает сомнение в непрерывности. Перейдите к пределу (по Лопиталю или нет) и убедитесь, что
lim(x->1-0) Sn(x)=0=S(0) - чтд (учтите, что n - целое и >=1) |
|
|
|
| Stensen |
14.4.2009, 5:45
Сообщение
#13
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 224 Регистрация: 6.11.2008 Город: Moscow Учебное заведение: МГУ |
Непрерывность Sn(x) очевидна, т.к. Sn(x) = ∑(x^n - x^2n) - это многочлен для каждого фикс-го n. Если непрерывность многочлена вызывает сомнение, то надо док-ть его непрерывность по общим правилам, через определение непрерывнности ф-ии: Коши, Гейне и т.д.
P.S. Кстати! Что означают сокращения: б.б., б.м. - бесконечно малая и большая??? |
|
|
|
| dr.Watson |
14.4.2009, 9:16
Сообщение
#14
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 222 Регистрация: 25.2.2009 Город: Новосибирск |
Обозначим сумму ряда S(x), тогда
1) S(x)=x/(1-x^2) при 0<=x<1 - разность двух сходящихся геометрических прогрессий 2) S(1)=0, как сумма нулей То есть S(x) - разрывна в точке x=1. А если бы ряд сходился равномерно, то S(x) была бы непрерывна. |
|
|
|
| venja |
14.4.2009, 13:31
Сообщение
#15
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Цитата(Stensen @ 14.4.2009, 11:45) [font=Calibri][size=3]Непрерывность Sn(x) очевидна, т.к. Sn(x) = ∑(x^n - x^2n) - это многочлен для каждого фикс-го n. Да, конечно. Так проще. Цитата(venja @ 11.4.2009, 11:02) Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся. Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм. Если я не ошибся, то получается так. Sn(x) = x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 Переходя к пределу, получим S(x)= x/(1-x^2) при х из [0,1) 0 при х=1 При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)). Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие. Проверьте. Цитата(dr.Watson @ 14.4.2009, 15:16) Обозначим сумму ряда S(x), тогда 1) S(x)=x/(1-x^2) при 0<=x<1 - разность двух сходящихся геометрических прогрессий 2) S(1)=0, как сумма нулей То есть S(x) - разрывна в точке x=1. А если бы ряд сходился равномерно, то S(x) была бы непрерывна. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) |
|
|
|
| tig81 |
14.4.2009, 18:59
Сообщение
#16
|
|
Академик Группа: Преподаватели Сообщений: 15 617 Регистрация: 15.12.2007 Город: Украина, Запорожье Учебное заведение: ЗНУ Вы: преподаватель |
Повторение - мать учения.
|
|
|
|
| Julia11 |
14.4.2009, 19:42
Сообщение
#17
|
|
Школьник Группа: Продвинутые Сообщений: 24 Регистрация: 4.4.2009 Город: Moscow-city) Учебное заведение: ГУУ Вы: студент |
Спасибо огромное за ответы! Вроде и ряд не сложный, но вопросов...
"Не непрерывность" S(x) не вызывала вопросов, это очевидно! За Sn(x) спасибо! =) Цитата "б.б., б.м. - бесконечно малая и большая???" Конечно) Цитата "Там только точка х=1 вызывает сомнение в непрерывности. Перейдите к пределу (по Лопиталю или нет) и убедитесь, что lim(x->1-0) Sn(x)=0=S(0) - чтд (учтите, что n - целое и >=1)" Понятно что в этом убедиться надо, есть теорема или определение ф-ии непрер в точке. Если вернет, то придется "убеждаться") Thanks, thanks, thanks! |
|
|
|
| venja |
15.4.2009, 7:02
Сообщение
#18
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Цитата(Julia11 @ 15.4.2009, 1:42) Понятно что в этом убедиться надо, есть теорема или определение ф-ии непрер в точке. Если вернет, то придется "убеждаться" Не придется, так как Цитата(Stensen @ 14.4.2009, 11:45) Непрерывность Sn(x) очевидна, т.к. Sn(x) = ∑(x^n - x^2n) - это многочлен для каждого фикс-го n. |
|
|
|
| dr.Watson |
16.4.2009, 7:56
Сообщение
#19
|
|
Студент Группа: Продвинутые Сообщений: 222 Регистрация: 25.2.2009 Город: Новосибирск |
Цитата(tig81 @ 15.4.2009, 1:59) Повторение - мать учения. У-п-с не заметил, что venja уже написал. |
|
|
|
| venja |
16.4.2009, 9:06
Сообщение
#20
|
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 615 Регистрация: 27.2.2007 Город: Екатеринбург Вы: преподаватель |
Цитата(venja @ 14.4.2009, 11:26) Там только точка х=1 вызывает сомнение в непрерывности. Перейдите к пределу (по Лопиталю или нет) и убедитесь, что lim(x->1-0) Sn(x)=0=S(0) - чтд (учтите, что n - целое и >=1) Доказывать непрерывность Sn(x) вообще лишнее. Достаточно первого замечания, что Цитата(venja @ 11.4.2009, 11:02) а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций |
|
|
|
|
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0
|
Текстовая версия | Сейчас: 24.4.2024, 8:07 |
Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.
Русская версия Invision Power Board
v2.1.7 © 2024 IPS, Inc.
Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru