Здравствуйте!
Вот задачка:
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=x^2+xy+y^2-6x-9y в данной точке А(1;4;0) этой поверхности
и вот что я нарешала:
x^2+xy+y^2-6x-9y-z=0
F(1;4;0)=-21
F'x=2x+y-6
F'y=x+2y-9
F'z=-1
F'x(1;4;0)=-1
F'y(1;4;0)=0
F'z=-1
Я это правильно решила?
Как мне найти координаты нормального вектора плоскости, подскажите, пожалуйста?

Стало быть Zo=-39 - находится из условия, что точка (1,4 , Zo) лежит на поверхности, то есть удовлетворяет уравнению - проверьте, вдруг я в арифметике ошибся.
Нормальный вектор к поверхности Вы нашли верно, ну дык теперь всего лишь и осталось написать уравнения
1) прямой, проходящей через известную точку (1,4 , Zo) с известным направляющим вектором и
2) касательной плоскости, проходящей через ту же точку и имеющую известный нормальный вектор.
Это потребует всего по одному исправлению в Ваших написанных уравнениях.