Всем доброго времени суток. И снова я со своими контрольными по высшей математике. Вот решила начать с интегралов. Порешала, что - то нарешала. Хотелось бы, чтобы Вы посмотрели, если неправильно что-то подсказали. Буду очень благодарна за Вашу помощь.

Ну, начну с первого примерчика:

int(x*ln(x-1)dx)={ln(x-1)=u, dx/(x-1)=du, xdx=dv, v=int(xdx)=x^2/2}=x^2/2 *ln(x-1) - int( x^2/2 * dx/(x-1) )=x^2/2 ln(x-1) -1/2 * int( x^2*dx/(x-1) )=x^2/2 * ln(x-1) -1/2 * ln(x-1) +C = 1*2 * ln(x-1)(x^2 -1) +C.

Вот. Это первый пример. Вроде нигде не должна была ошибиться, но все равно ради безопасности (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) хочется перепроверить себя (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

У вас интеграл равен ln(x-1)? Неправильно.

Продиффиринцируйте полученный ответ...

Что-то я перепугалась аж, если честно и тормозить начала (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Посидела, попыталась собраться с мыслями и подумать(иногда получается)...
Поняла только одно, что интеграл при решении нашла не правильно...
Извиняюсь, если напишу глупость (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
int(x^2 * dx/(x-1))={t=x-1 => x=t+1, dt=dx, x^2 dx=dt => dx=dt/(t+1)^2}
Что-то в роде этого надо было делать?
Извиняюсь, если глупость написала, просто затормозила сильно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Т.к. степень числителя больше степени знаменателя, то надо выделить целую часть. Для этого нужно числитель оделить на знаменатель.

Или можно поступить следующим образом: int(x^2 * dx/(x-1))=int([(x^2-1)+1] * dx/(x-1))=int([(x-1)(x+1)+1] * dx/(x-1))=int((x+1)dx)+int(dx/(х-1))=...

упс (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)
Видела такое в учебничке (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Спасибо, что подсказали, сейчас пересмотрю и постараюсь понять (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вот... Поняла, я в другом примере такое применяла, а в этом почему-то не знаю почему не применила...
В общем дописала решение, вернее ответ (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Получила
x^2/2 ln(x-1) -1/2[x^2/2 +x +ln(x-1)] +C = ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x^2/4 -x/2 +С= ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x/2 (x/2 +1) +С.
Вот теперь кажется так должно быть? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вроде так. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Спасибочки (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
А вот следующий примерчик(увидела в учебнике решение аналогичного примера, думаю не ошиблась (IMG:style_emoticons/default/blush.gif) )

int[(3x-2)*dx / (5x^2 -3x+2)]=1/5 int[(3x-2) *dx / (x^2 -3*x/5)+2/5];
Здесь:
А=3,
В=2,
p=3/5,
q=2/5.
Т.к.
p^2/4 - q = 9/100 - 2/5 = -31/100 <0 =>
Ax+B=(2x+p)*A/2 -Ap/2 +B

И длинное длинное решение:
1/5 int [(3/2(2x+3/5) + (2-9/10))/(x^2-3*x/5+2/5) *dx] = 1/5 {3/2 int[(2x+3/5)*dx / (x^2-3*x/5+2/5)] + (2-9/10) int dx/(x^2-3*x/5 +2/5)} = 1/5 {3/2 int d(x^2-3*x/5+2/5) / (x^2-3*x/5+2/5) +11/10 int dx/((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))}= 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 int d(x+3/10) / ((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))} = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 * 1/sqrt(2/5-9/100)arctg((x+3/10)/sqrt(2/5-9/100))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 *10/sqrt(31) * arctg(10*(x+3/10)/sqrt(31))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/sqrt(31) * arctg(10*x+3)/sqrt(31))}+C.

Проверте пожалуйста (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Хотя у меня есть небольшие сомнения... Может быть тут не надо было 5 из знаменателя выносить?

Вот это понаписывали... (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)

У меня такое получилось: 3/10*ln(5*x^2-3*x+2)-11sqrt(31)/155*arctan((10*x-3)/sqrt(31))

ага... много написала и ненужного...
Я разобралась с первым слагаемым, оно у меня такое же получилось как и у Вас, а вот со вторым вообще немогу разобраться (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) У меня не получается как у Вас... Наверное я просто запуталась уже...
arctan((10*x-3)/sqrt(31)
Вот это у меня тоже получилось, а вот
-11sqrt(31)/155
неполучилось...
у меня вообще там вышло так:
-11/5sqrt(31)....
А как у вас вышло, что корень в числителе, а не в знаменателе?

ну так надо просто домножить числитель и знаменатель на корень из 31
ответы у вас одинаковые

а. о, точно... я уже совсем запуталась с этим примером, что такой мелочи не заметила... Спасибо (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)

Спасибо (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Я разобралась и все поняла (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
А вот только с этим примерчиком не могу разобраться
int((xdx)/(x^3+1))
Я разложила сумму кубов и получила:
int((xdx)/(x+1)(x^2-x+1))
А вот что делать дальше, ума не приложу... (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
Листала, листала методичку, и ничего не нашла (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
Подскажите, плиз или дайте какую-нибудь ссылочку полезную, чтобы разобраться с этим примером, буду очень благодарна.

Разложите дробь в сумму простейших:

x/(x^3+1)=A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)

Коэффициенты A,B,C определяются путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях после приведения к общему знаменателю.

Хорошо. Спасибо. Попробую. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Я нашла коэффициенты, они равны:
А=1
В=-1
С=1
Получилось:
int(dx/(x+1))+int((1-x)dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2int((2x-1)dx/(x^2-x+1))+(1-1/2)int(dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+1/2int(d(x-1/2)/(x-1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+sqrt(3)/3*arctg((2x-1)/(sqrt(3)))+C.

Вот. Конечно расписывала не все, там много очень писанины...
Но основное написала. Проверте пожалуйста (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Хотя не знаю, я немного не поняла, как находять А,В,С... Поэтому могла и ошибиться. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Все. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Я разобралась ))) Я и вправду их не правильно нашла...
Тогда немного изменится ответ:
У первого слогаемого будет коэффициент -1/3, у второго 1/6. а у арктангенса будет так же, там сократится все. Правильно?