Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Неопределенные интегралы...
Автор: ЕленаСавельева 13.4.2009, 13:22
Всем доброго времени суток. И снова я со своими контрольными по высшей математике. Вот решила начать с интегралов. Порешала, что - то нарешала. Хотелось бы, чтобы Вы посмотрели, если неправильно что-то подсказали. Буду очень благодарна за Вашу помощь.
Ну, начну с первого примерчика:
int(x*ln(x-1)dx)={ln(x-1)=u, dx/(x-1)=du, xdx=dv, v=int(xdx)=x^2/2}=x^2/2 *ln(x-1) - int( x^2/2 * dx/(x-1) )=x^2/2 ln(x-1) -1/2 * int( x^2*dx/(x-1) )=x^2/2 * ln(x-1) -1/2 * ln(x-1) +C = 1*2 * ln(x-1)(x^2 -1) +C.
Вот. Это первый пример. Вроде нигде не должна была ошибиться, но все равно ради безопасности 
хочется перепроверить себя
Автор: tig81 13.4.2009, 13:40
Всем доброго времени суток. И снова я со своими контрольными по высшей математике. Вот решила начать с интегралов. Порешала, что - то нарешала. Хотелось бы, чтобы Вы посмотрели, если неправильно что-то подсказали. Буду очень благодарна за Вашу помощь.
Ну, начну с первого примерчика:
int(x*ln(x-1)dx)={ln(x-1)=u, dx/(x-1)=du, xdx=dv, v=int(xdx)=x^2/2}=x^2/2 *ln(x-1) - int( x^2/2 * dx/(x-1) )=x^2/2 ln(x-1) -1/2 * int( x^2*dx/(x-1) )=x^2/2 * ln(x-1) -1/2 * ln(x-1) +C = 1*2 * ln(x-1)(x^2 -1) +C.
У вас интеграл равен ln(x-1)? Неправильно.
хочется перепроверить себя Продиффиринцируйте полученный ответ...
Автор: ЕленаСавельева 13.4.2009, 14:39
Что-то я перепугалась аж, если честно и тормозить начала
Посидела, попыталась собраться с мыслями и подумать(иногда получается)...
Поняла только одно, что интеграл при решении нашла не правильно...
Извиняюсь, если напишу глупость
int(x^2 * dx/(x-1))={t=x-1 => x=t+1, dt=dx, x^2 dx=dt => dx=dt/(t+1)^2}
Что-то в роде этого надо было делать?
Извиняюсь, если глупость написала, просто затормозила сильно
Автор: tig81 13.4.2009, 14:43
int(x^2 * dx/(x-1))=...
Т.к. степень числителя больше степени знаменателя, то надо выделить целую часть. Для этого нужно числитель оделить на знаменатель.
Или можно поступить следующим образом: int(x^2 * dx/(x-1))=int([(x^2-1)+1] * dx/(x-1))=int([(x-1)(x+1)+1] * dx/(x-1))=int((x+1)dx)+int(dx/(х-1))=...
Автор: ЕленаСавельева 13.4.2009, 14:54
упс 
Видела такое в учебничке
Спасибо, что подсказали, сейчас пересмотрю и постараюсь понять
Автор: ЕленаСавельева 13.4.2009, 15:05
Вот... Поняла, я в другом примере такое применяла, а в этом почему-то не знаю почему не применила...
В общем дописала решение, вернее ответ
Получила
x^2/2 ln(x-1) -1/2[x^2/2 +x +ln(x-1)] +C = ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x^2/4 -x/2 +С= ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x/2 (x/2 +1) +С.
Вот теперь кажется так должно быть?
Автор: tig81 13.4.2009, 16:26
Вот теперь кажется так должно быть?
Вроде так.
Автор: ЕленаСавельева 14.4.2009, 2:15
Спасибочки
А вот следующий примерчик(увидела в учебнике решение аналогичного примера, думаю не ошиблась )
int[(3x-2)*dx / (5x^2 -3x+2)]=1/5 int[(3x-2) *dx / (x^2 -3*x/5)+2/5];
Здесь:
А=3,
В=2,
p=3/5,
q=2/5.
Т.к.
p^2/4 - q = 9/100 - 2/5 = -31/100 <0 =>
Ax+B=(2x+p)*A/2 -Ap/2 +B
И длинное длинное решение:
1/5 int [(3/2(2x+3/5) + (2-9/10))/(x^2-3*x/5+2/5) *dx] = 1/5 {3/2 int[(2x+3/5)*dx / (x^2-3*x/5+2/5)] + (2-9/10) int dx/(x^2-3*x/5 +2/5)} = 1/5 {3/2 int d(x^2-3*x/5+2/5) / (x^2-3*x/5+2/5) +11/10 int dx/((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))}= 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 int d(x+3/10) / ((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))} = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 * 1/sqrt(2/5-9/100)arctg((x+3/10)/sqrt(2/5-9/100))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 *10/sqrt(31) * arctg(10*(x+3/10)/sqrt(31))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/sqrt(31) * arctg(10*x+3)/sqrt(31))}+C.
Проверте пожалуйста
Автор: ЕленаСавельева 15.4.2009, 2:22
Хотя у меня есть небольшие сомнения... Может быть тут не надо было 5 из знаменателя выносить?
Автор: tig81 15.4.2009, 14:51
Вот это понаписывали... 
= 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/sqrt(31) * arctg(10*x+3)/sqrt(31))}+C
У меня такое получилось: 3/10*ln(5*x^2-3*x+2)-11sqrt(31)/155*arctan((10*x-3)/sqrt(31))
Автор: ЕленаСавельева 16.4.2009, 7:20
ага... много написала и ненужного...
Я разобралась с первым слагаемым, оно у меня такое же получилось как и у Вас, а вот со вторым вообще немогу разобраться 
У меня не получается как у Вас... Наверное я просто запуталась уже...
arctan((10*x-3)/sqrt(31)
Вот это у меня тоже получилось, а вот
-11sqrt(31)/155
неполучилось...
у меня вообще там вышло так:
-11/5sqrt(31)....
А как у вас вышло, что корень в числителе, а не в знаменателе?
Автор: Evgeny 16.4.2009, 8:29
ага... много написала и ненужного...
Я разобралась с первым слагаемым, оно у меня такое же получилось как и у Вас, а вот со вторым вообще немогу разобраться
У меня не получается как у Вас... Наверное я просто запуталась уже... arctan((10*x-3)/sqrt(31)
Вот это у меня тоже получилось, а вот
-11sqrt(31)/155
неполучилось...
у меня вообще там вышло так:
-11/5sqrt(31)....
А как у вас вышло, что корень в числителе, а не в знаменателе?
ну так надо просто домножить числитель и знаменатель на корень из 31
ответы у вас одинаковые
Автор: ЕленаСавельева 16.4.2009, 9:09
а. о, точно... я уже совсем запуталась с этим примером, что такой мелочи не заметила... Спасибо
Автор: tig81 16.4.2009, 9:10
ну так надо просто домножить числитель и знаменатель на корень из 31
ответы у вас одинаковые
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 3:05
Спасибо Я разобралась и все поняла
А вот только с этим примерчиком не могу разобраться
int((xdx)/(x^3+1))
Я разложила сумму кубов и получила:
int((xdx)/(x+1)(x^2-x+1))
А вот что делать дальше, ума не приложу...
Листала, листала методичку, и ничего не нашла
Подскажите, плиз или дайте какую-нибудь ссылочку полезную, чтобы разобраться с этим примером, буду очень благодарна.
Автор: dr.Watson 17.4.2009, 3:30
Разложите дробь в сумму простейших:
x/(x^3+1)=A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)
Коэффициенты A,B,C определяются путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях после приведения к общему знаменателю.
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 4:01
Хорошо. Спасибо. Попробую.
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 5:14
Я нашла коэффициенты, они равны:
А=1
В=-1
С=1
Получилось:
int(dx/(x+1))+int((1-x)dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2int((2x-1)dx/(x^2-x+1))+(1-1/2)int(dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+1/2int(d(x-1/2)/(x-1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+sqrt(3)/3*arctg((2x-1)/(sqrt(3)))+C.
Вот. Конечно расписывала не все, там много очень писанины...
Но основное написала. Проверте пожалуйста
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 5:32
Хотя не знаю, я немного не поняла, как находять А,В,С... Поэтому могла и ошибиться.
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 6:01
Все. Я разобралась ))) Я и вправду их не правильно нашла...
Тогда немного изменится ответ:
У первого слогаемого будет коэффициент -1/3, у второго 1/6. а у арктангенса будет так же, там сократится все. Правильно?
Автор: Ярослав_ 17.4.2009, 6:33
У первого слогаемого будет коэффициент -1/3, у второго 1/6. а у арктангенса будет так же, там сократится все. Правильно?
B=1/3; C=1/3
У второго слагаемого будет коэффициент 1/3.
(x/3+1/3)/(x^2-x+1)=1/3*(x+1)/(x^2-x+1)=(x+1)/[3*(x^2-x+1)]
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 7:17
Не, я это поняла Я про конечный ответ уже
Автор: Ярослав_ 17.4.2009, 7:22
Да, в конечном ответе -1/3 и 1/6... Извиняюсь...
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 7:36
Да, в конечном ответе -1/3 и 1/6... Извиняюсь...
Ничего страшного
Автор: dr.Watson 17.4.2009, 7:45
Нет, коэффициенты опять не те. Или это не про ABC? В конечном ответе кроме двух логарифмов с коэффициентами -1/3 и 1/6 будет ещё арктангенс с иррациональным коэффициентом.
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 7:57
Нет, коэффициенты опять не те. Или это не про ABC?
Про А, В, С мне уже понятно, они равны -1/3, 1/3 и 1/3 соответственно.
В конечном ответе кроме двух логарифмов с коэффициентами 1/3 и 1/6 будет ещё арктангенс с иррациональным коэффициентом.
да:) как раз в конечном ответе и получилось 3 слогаемых, два из них логарифма с коэффициентами -1/3 и 1/6 и один арктангенс с коэффициентом sqrt(3)/3...
Автор: dr.Watson 17.4.2009, 10:05
Итого
-ln|x+1|/3 +ln(x^2-x+1)/6 + (1/sqrt3)arctg{(2x-1)/sqrt3}.
Автор: ЕленаСавельева 17.4.2009, 11:07
Итого
-ln|x+1|/3 +ln(x^2-x+1)/6 + (1/sqrt3)arctg{(2x-1)/sqrt3}.
Так точно
Всем огромное спасибо за помощь!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)