Подскажите, чем является полугруппа, состоящая из натуральных чисел и числа нуль?
1. абелевой группой
2.циклической группой
3.свободной полугруппой
4.моноидом
5. циклической полугруппой

Да, моноид. Ответ не изменится, если то же множество рассмотреть относительно обычного умножения. Теперь нейтральным элементом будет 1.
А вот ещё: на том же множестве определим операцию !:
x!y=xy+x+y, здесь xy - обычное перемножение чисел x и y, а + это обычное сложение.
Относительно этой операции опять получим моноид - проверьте ассоциативность и найдите нейтральный элемент.