[font=Calibri][size=3]Непрерывность Sn(x) очевидна, т.к. Sn(x) = ∑(x^n - x^2n) - это многочлен для каждого фикс-го n.

Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся.
Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм.
Если я не ошибся, то получается так.
Sn(x) =
x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1)
0 при х=1
Переходя к пределу, получим
S(x)=
x/(1-x^2) при х из [0,1)
0 при х=1

При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)).
Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно
доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие.
Проверьте.

Обозначим сумму ряда S(x), тогда
1) S(x)=x/(1-x^2) при 0<=x<1 - разность двух сходящихся геометрических прогрессий
2) S(1)=0, как сумма нулей

То есть S(x) - разрывна в точке x=1.

А если бы ряд сходился равномерно, то S(x) была бы непрерывна.