Здравствуйте!
Нужно исследовать на равномерную сх-ть: сумма от n=1 до оо (x^(n) - x^(2n)), 0<=x<=1.
Чему равно Sn(x) и как ее искать? Заранее спасибо за помощь!

Sn(x) имеет вид разности сумм двух геометрических прогрессий. Для каждой суммы есть формула.

Теорема: {Fn(x)} - фукц-ая послед-ть сходится равномерно на множ-ве Х=[0,...,1] <=>

lim sup |Fn(x)-F(x)| =0, при n->∞, для всех х из Х, где: F(x) = lim Fn(x), при n->∞.

Алгоритм:

1. F(x) = lim Fn(x) = lim (x^n - x^(2n)) при n->∞.

2. Найти x из Х, при которых |Fn(x)-F(x)| -> max, это и есть sup |Fn(x)-F(x)| на Х. С помощью производной исследуем Fn(x)-F(x) на мах, подставляем этот х в |Fn(x)-F(x)| и ищем lim.

3. Применяем Теорему.

Итак:

1. F(x)=0

2. х=1/2^(1/n), sup |Fn(x)-F(x)| = |Fn(x)-F(x)| = 1/4

3. lim sup |Fn(x)-F(x)| = 1/4 не равен 0, при n->∞.

Значит сходится неравномерно (только по-точечно).

Всё бы хорошо, только у меня не функциональная посл-ть, а функциональный ряд.
Нужно находить Sn(x). Я нашла, дальше чё т не знаю как... Как-то слишком страшно находить |Sn(x)-S(x)| и еще к тому же sup...