Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
Дано: z=x^2+2xy+2y^2, -1<=x<=1, 0<=y<=2

Для начала определимся с планом решения:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Решение:
1) Построим область D на плоскости:
http://s43.radikal.ru/i099/0904/b7/888c2b4e4630.jpg

Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

Граница Г области D состоит из 4-ех частей:
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

2) Найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2

верно начала? вот возник вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять нужно? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

верно

так

Решаем систему: 2x+2y=0, 2x+4y=0. Из второго уравнения вычитаем первое: 2у=0 => у=0. Подставляем полученное значение у в любое из уравнений, например, в первое: 2х=0 => х=0. Т.е. т.М(0; 0). Находите значение функции в этой точке.

т.е. в заданную функцию z=x^2+2xy+2y^2 мне нужно подставить точку М(0;0)
получим
z=0^2+2*0*0+2*0^2
z=0

верно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

ну да... Теперь исследуйте функцию на границах области.

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1 => 2x=0 => x=0 (и y=0) =>
=> получаем точку А(0;0) принадлежит l1

правильно первую нашла? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

в этом я не уверена. но как поняла по примеру. т.е. взяла число которое из интервала х наибольшее
ссылка примера http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-10.html


2х нашла как производную первого порядка из:
z=x^2+2xy+2y^2, т.к. у=0, то получили
z=x^2
z'=2x

неправильно я поняла, да? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)



наверное надо было приравнять к нулю?

Это верно. Просто вы неверно записали, что f1'(x)=-1. В примере равно 0, это уравнения для нахождения критических точек. Т.е. надо оформить так:
1. Функцию f1(x) вы записали.
2. Находите ее производную.
3. Решаете уравнение f1'(x)=0.

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)

получается:
Исследуем функцию на границах области:
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции: f1'(x)=2x
Затем решим уравнение: f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку А(0;0) принадлежит l1

такое оформление правильно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Теперь мне понятно. (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif) А то откуда-то -1 взялось?! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

l2: 0<=y<=2, x=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции: f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение: f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку B(-1;-1/2) принадлежит l2

верно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Откуда появился знак "-"?

Аналогично и для l1, и l2, вам надо найти значение функции в точке А, В и на концах рассматриваемого отрезка. Или вы в угловых точках знаечние функции в конце будете находить?

делала так:
-2+4у=0
4у=2
при переносе 4 в правую часть появиться минус
у=-2/4=-1/2

разве не правильно?



я думала сначала на каждой границе исследовать функцию, а потом в 4-ех точках найденных при исследовании функции на границах области найти значения.
так можно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)