Версия для печати темы

Автор: Nat111 4.4.2009, 12:03

Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
Дано: z=x^2+2xy+2y^2, -1<=x<=1, 0<=y<=2

Для начала определимся с планом решения:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Решение:
1) Построим область D на плоскости:
http://s43.radikal.ru/i099/0904/b7/888c2b4e4630.jpg

Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

Граница Г области D состоит из 4-ех частей:
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

2) Найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2

верно начала? вот возник вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять нужно?

Автор: tig81 4.4.2009, 12:25

верно

так

Решаем систему: 2x+2y=0, 2x+4y=0. Из второго уравнения вычитаем первое: 2у=0 => у=0. Подставляем полученное значение у в любое из уравнений, например, в первое: 2х=0 => х=0. Т.е. т.М(0; 0). Находите значение функции в этой точке.

Автор: Nat111 4.4.2009, 13:07

т.е. в заданную функцию z=x^2+2xy+2y^2 мне нужно подставить точку М(0;0)
получим
z=0^2+2*0*0+2*0^2
z=0

верно?

Автор: tig81 4.4.2009, 15:08

ну да... Теперь исследуйте функцию на границах области.

Автор: Nat111 4.4.2009, 16:14

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1 => 2x=0 => x=0 (и y=0) =>
=> получаем точку А(0;0) принадлежит l1

правильно первую нашла?

Автор: tig81 4.4.2009, 16:30

Как такое получили?

да. Здесь уже откуда-то 2х взялось.
Теперь находите значение функции в полученной критической точке и в концах отрезка l1.

Автор: Nat111 4.4.2009, 16:56

в этом я не уверена. но как поняла по примеру. т.е. взяла число которое из интервала х наибольшее
ссылка примера http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-10.html


2х нашла как производную первого порядка из:
z=x^2+2xy+2y^2, т.к. у=0, то получили
z=x^2
z'=2x

неправильно я поняла, да?



наверное надо было приравнять к нулю?

Автор: tig81 4.4.2009, 17:13

Это верно. Просто вы неверно записали, что f1'(x)=-1. В примере равно 0, это уравнения для нахождения критических точек. Т.е. надо оформить так:
1. Функцию f1(x) вы записали.
2. Находите ее производную.
3. Решаете уравнение f1'(x)=0.

Автор: Nat111 4.4.2009, 17:30

получается:
Исследуем функцию на границах области:
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции: f1'(x)=2x
Затем решим уравнение: f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку А(0;0) принадлежит l1

такое оформление правильно?

Автор: tig81 4.4.2009, 18:00

Теперь мне понятно. А то откуда-то -1 взялось?!

Автор: Nat111 5.4.2009, 10:49

l2: 0<=y<=2, x=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции: f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение: f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку B(-1;-1/2) принадлежит l2

верно?

Автор: tig81 5.4.2009, 11:51

Откуда появился знак "-"?

Аналогично и для l1, и l2, вам надо найти значение функции в точке А, В и на концах рассматриваемого отрезка. Или вы в угловых точках знаечние функции в конце будете находить?

Автор: Nat111 5.4.2009, 12:03

делала так:
-2+4у=0
4у=2
при переносе 4 в правую часть появиться минус
у=-2/4=-1/2

разве не правильно?



я думала сначала на каждой границе исследовать функцию, а потом в 4-ех точках найденных при исследовании функции на границах области найти значения.
так можно?

Автор: tig81 5.4.2009, 12:16

Что вы переночите в правую часть?
Это вы сделали во второй строке. А далее вы просто делете: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель. Про смену знака речь не идет.
а+b=с => a=c-b
ab=c => a=c/b

Думаю, что можно. Алгоритмы могуь отличаться. Только кроме 4-х найденных точках, значения функции также надо нахоить и в угловых точках.

Автор: Nat111 5.4.2009, 13:18

ааа...


вначале когда мы находили значение функции в точке М(0;0), я эту точку переименую в точку М1.

тогда
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку A(0;0) принадлежит l1

б) l2: 0<=у<=2, х=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=2/4=1/2
Следовательно получим точку M2(-1;1/2) принадлежит l2 - вторая стационарная точка

в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) принадлежит l3 - третья стационарная точка

г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) принадлежит l4 - четвертая стационарная точка

Вычислим 8 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
z(M3)=z(-2;2)=x^2+2xy+2y^2=-2^2+2*(-2)*2+2*2^2=4-8+8=4
z(M4)=z(1;-1/2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*(-1/2)+2*(-1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(A)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z(=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z©=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

ПРАВИЛЬНО Я ВЗЯЛА ТОЧКУ z(A)??? точка А у нас равна (-1;0) - при построении графика в самом начале решения, и (0;0) - когда исследовали функцию на границе области l1.

Из полученных 8 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0
M=max z=z(1;2)=13

правильно?
график не надо чертить?

Автор: tig81 5.4.2009, 14:02

Эту точку тоже лучше как-то переименовать, т.к. такой буквой у вас обозначена одна из угловых точек.

так

почему полученная точка принадлежит l3?

аналогично предыдущему замечанию. Нанесите полученные точки на координатную плоскость, на которой у вас изображена область и посмотрите.

Так, точек чтанет немного меньше.

смотрите замечание после пункта а)

верно

не надо.

Автор: Nat111 5.4.2009, 14:22

а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку F(0;0) принадлежит l1

Переименовала в F

Цитата

я разместила на графике, эту точку М3(-2;2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М3 непринадлежит l3.
В решении записываем так:
в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежит l3 -



я разместила на графике, эту точку М4(1;-1/2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М4 непринадлежит l4.
В решении записываем так:
г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) не принадлежит l4



Вычислим 6 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(А)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z( В )=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z( С )=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

Из полученных 6 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0
M=max z=z(1;2)=13






Все правильно?

Автор: tig81 5.4.2009, 14:37

Так лучше.

Цитата

я разместила на графике, эту точку М3(-2;2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М3 непринадлежит l3.

лучше сказать, что не разместили, а отметили.

Цитата

Ну, следовательно, и области D.

вроде так

так, только скобки поставьте.

вроде верно

похоже на правду. Если нигде не потеряли что-либо.

Автор: Nat111 5.4.2009, 14:43

Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежащая области D


спасибо расставлю


да вроде ничего не потеряла, проверила три раза

СПАСИБО ОГРОМНОЕ ЗА ПОМОЩЬ!!!

Автор: tig81 5.4.2009, 14:46

Удачи!

Автор: Nat111 5.4.2009, 14:54

Спасибо большое! Вам тоже удачи во всем!

Автор: tig81 5.4.2009, 15:40

Огромное спасибо!!