Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
Дано: z=x^2+2xy+2y^2, -1<=x<=1, 0<=y<=2

Для начала определимся с планом решения:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Решение:
1) Построим область D на плоскости:
http://s43.radikal.ru/i099/0904/b7/888c2b4e4630.jpg

Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

Граница Г области D состоит из 4-ех частей:
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

2) Найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2

верно начала? вот возник вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять нужно? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

верно

так

Решаем систему: 2x+2y=0, 2x+4y=0. Из второго уравнения вычитаем первое: 2у=0 => у=0. Подставляем полученное значение у в любое из уравнений, например, в первое: 2х=0 => х=0. Т.е. т.М(0; 0). Находите значение функции в этой точке.

т.е. в заданную функцию z=x^2+2xy+2y^2 мне нужно подставить точку М(0;0)
получим
z=0^2+2*0*0+2*0^2
z=0

верно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

ну да... Теперь исследуйте функцию на границах области.