IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

2 страниц V  1 2 >  
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y)
Nat111
сообщение 4.4.2009, 12:03
Сообщение #1


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
Дано: z=x^2+2xy+2y^2, -1<=x<=1, 0<=y<=2

Для начала определимся с планом решения:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Решение:
1) Построим область D на плоскости:
http://s43.radikal.ru/i099/0904/b7/888c2b4e4630.jpg

Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

Граница Г области D состоит из 4-ех частей:
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

2) Найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2

верно начала? вот возник вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять нужно? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.4.2009, 12:25
Сообщение #2


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 15:03) *

Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
Дано: z=x^2+2xy+2y^2, -1<=x<=1, 0<=y<=2
Для начала определимся с планом решения:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.
Решение:
1) Построим область D на плоскости:
http://s43.radikal.ru/i099/0904/b7/888c2b4e4630.jpg
Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

верно
Цитата
Граница Г области D состоит из 4-ех частей:
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

так
Цитата
2) Найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2
вот возник вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять нужно? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

Решаем систему: 2x+2y=0, 2x+4y=0. Из второго уравнения вычитаем первое: 2у=0 => у=0. Подставляем полученное значение у в любое из уравнений, например, в первое: 2х=0 => х=0. Т.е. т.М(0; 0). Находите значение функции в этой точке.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 4.4.2009, 13:07
Сообщение #3


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 4.4.2009, 12:25) *

Решаем систему: 2x+2y=0, 2x+4y=0. Из второго уравнения вычитаем первое: 2у=0 => у=0. Подставляем полученное значение у в любое из уравнений, например, в первое: 2х=0 => х=0. Т.е. т.М(0; 0). Находите значение функции в этой точке.


т.е. в заданную функцию z=x^2+2xy+2y^2 мне нужно подставить точку М(0;0)
получим
z=0^2+2*0*0+2*0^2
z=0

верно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.4.2009, 15:08
Сообщение #4


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 16:07) *

т.е. в заданную функцию z=x^2+2xy+2y^2 мне нужно подставить точку М(0;0)
получим
z=0^2+2*0*0+2*0^2
z=0
верно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

ну да... Теперь исследуйте функцию на границах области.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 4.4.2009, 16:14
Сообщение #5


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 4.4.2009, 15:08) *

ну да... Теперь исследуйте функцию на границах области.

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1 => 2x=0 => x=0 (и y=0) =>
=> получаем точку А(0;0) принадлежит l1

правильно первую нашла? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.4.2009, 16:30
Сообщение #6


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 19:14) *

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1

Как такое получили?
Цитата
=> 2x=0 => x=0 (и y=0) => => получаем точку А(0;0) принадлежит l1

да. Здесь уже откуда-то 2х взялось.
Теперь находите значение функции в полученной критической точке и в концах отрезка l1.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 4.4.2009, 16:56
Сообщение #7


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 16:14) *

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1

в этом я не уверена. но как поняла по примеру. т.е. взяла число которое из интервала х наибольшее
ссылка примера http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-10.html

Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 16:14) *

=> 2x=0 => x=0 (и y=0) =>
=> получаем точку А(0;0) принадлежит l1

2х нашла как производную первого порядка из:
z=x^2+2xy+2y^2, т.к. у=0, то получили
z=x^2
z'=2x

неправильно я поняла, да? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 16:14) *

первая граница области:
l1: -1<=x<=1, y=0 =>
=> z|по l1 =z|по y=0 =x^2=f1(x), -1<=x<=1 =>
=> f1'(x)=-1 => 2x=0 => x=0 (и y=0) =>
=> получаем точку А(0;0) принадлежит l1

правильно первую нашла? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)


наверное надо было приравнять к нулю?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.4.2009, 17:13
Сообщение #8


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 19:56) *

в этом я не уверена. но как поняла по примеру. т.е. взяла число которое из интервала х наибольшее
ссылка примера http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-10.html
2х нашла как производную первого порядка из: z=x^2+2xy+2y^2, т.к. у=0, то получили
z=x^2
z'=2x

Это верно. Просто вы неверно записали, что f1'(x)=-1. В примере равно 0, это уравнения для нахождения критических точек. Т.е. надо оформить так:
1. Функцию f1(x) вы записали.
2. Находите ее производную.
3. Решаете уравнение f1'(x)=0.
Цитата
наверное надо было приравнять к нулю?

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 4.4.2009, 17:30
Сообщение #9


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 4.4.2009, 17:13) *

Это верно. Просто вы неверно записали, что f1'(x)=-1. В примере равно 0, это уравнения для нахождения критических точек. Т.е. надо оформить так:
1. Функцию f1(x) вы записали.
2. Находите ее производную.
3. Решаете уравнение f1'(x)=0.

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)


получается:
Исследуем функцию на границах области:
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции: f1'(x)=2x
Затем решим уравнение: f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку А(0;0) принадлежит l1

такое оформление правильно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.4.2009, 18:00
Сообщение #10


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 4.4.2009, 20:30) *

получается:
Исследуем функцию на границах области:
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции: f1'(x)=2x
Затем решим уравнение: f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку А(0;0) принадлежит l1
такое оформление правильно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Теперь мне понятно. (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif) А то откуда-то -1 взялось?! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 5.4.2009, 10:49
Сообщение #11


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 4.4.2009, 18:00) *

Теперь мне понятно. (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif) А то откуда-то -1 взялось?! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

l2: 0<=y<=2, x=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции: f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение: f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку B(-1;-1/2) принадлежит l2

верно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 5.4.2009, 11:51
Сообщение #12


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 5.4.2009, 13:49) *

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

l2: 0<=y<=2, x=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции: f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение: f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=-2/4=-1/2

Откуда появился знак "-"?
Цитата
Следовательно получим точку B(-1;-1/2) принадлежит l2

Аналогично и для l1, и l2, вам надо найти значение функции в точке А, В и на концах рассматриваемого отрезка. Или вы в угловых точках знаечние функции в конце будете находить?

Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 5.4.2009, 12:03
Сообщение #13


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 5.4.2009, 11:51) *

Откуда появился знак "-"?

делала так:
-2+4у=0
4у=2
при переносе 4 в правую часть появиться минус
у=-2/4=-1/2

разве не правильно?

Цитата

Аналогично и для l1, и l2, вам надо найти значение функции в точке А, В и на концах рассматриваемого отрезка. Или вы в угловых точках знаечние функции в конце будете находить?


я думала сначала на каждой границе исследовать функцию, а потом в 4-ех точках найденных при исследовании функции на границах области найти значения.
так можно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 5.4.2009, 12:16
Сообщение #14


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 5.4.2009, 15:03) *

делала так:
-2+4у=0
4у=2
при переносе 4 в правую часть появиться минус
у=-2/4=-1/2

Что вы переночите в правую часть?
Это вы сделали во второй строке. А далее вы просто делете: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель. Про смену знака речь не идет.
а+b=с => a=c-b
ab=c => a=c/b
Цитата
я думала сначала на каждой границе исследовать функцию, а потом в 4-ех точках найденных при исследовании функции на границах области найти значения.
так можно? (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

Думаю, что можно. Алгоритмы могуь отличаться. Только кроме 4-х найденных точках, значения функции также надо нахоить и в угловых точках.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 5.4.2009, 13:18
Сообщение #15


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 5.4.2009, 12:16) *

Что вы переночите в правую часть?
Это вы сделали во второй строке. А далее вы просто делете: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель. Про смену знака речь не идет.
а+b=с => a=c-b
ab=c => a=c/b

ааа... (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Цитата

Думаю, что можно. Алгоритмы могуь отличаться. Только кроме 4-х найденных точках, значения функции также надо нахоить и в угловых точках.

вначале когда мы находили значение функции в точке М(0;0), я эту точку переименую в точку М1.

тогда
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку A(0;0) принадлежит l1

б) l2: 0<=у<=2, х=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=2/4=1/2
Следовательно получим точку M2(-1;1/2) принадлежит l2 - вторая стационарная точка

в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) принадлежит l3 - третья стационарная точка

г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) принадлежит l4 - четвертая стационарная точка

Вычислим 8 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
z(M3)=z(-2;2)=x^2+2xy+2y^2=-2^2+2*(-2)*2+2*2^2=4-8+8=4
z(M4)=z(1;-1/2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*(-1/2)+2*(-1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(A)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z((IMG:style_emoticons/default/cool.gif)=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z©=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

ПРАВИЛЬНО Я ВЗЯЛА ТОЧКУ z(A)??? точка А у нас равна (-1;0) - при построении графика в самом начале решения, и (0;0) - когда исследовали функцию на границе области l1.


Из полученных 8 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0
M=max z=z(1;2)=13

правильно?
график не надо чертить? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 5.4.2009, 14:02
Сообщение #16


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 5.4.2009, 16:18) *

а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку A(0;0) принадлежит l1

Эту точку тоже лучше как-то переименовать, т.к. такой буквой у вас обозначена одна из угловых точек.
Цитата
б) l2: 0<=у<=2, х=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=2/4=1/2
Следовательно получим точку M2(-1;1/2) принадлежит l2 - вторая стационарная точка

так
Цитата
в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) принадлежит l3 - третья стационарная точка

почему полученная точка принадлежит l3?
Цитата
г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) принадлежит l4 - четвертая стационарная точка

аналогично предыдущему замечанию. Нанесите полученные точки на координатную плоскость, на которой у вас изображена область и посмотрите.
Цитата
Вычислим 8 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
z(M3)=z(-2;2)=x^2+2xy+2y^2=-2^2+2*(-2)*2+2*2^2=4-8+8=4
z(M4)=z(1;-1/2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*(-1/2)+2*(-1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(A)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z((IMG:style_emoticons/default/cool.gif)=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z©=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

Так, точек чтанет немного меньше.
Цитата
ПРАВИЛЬНО Я ВЗЯЛА ТОЧКУ z(A)??? точка А у нас равна (-1;0) - при построении графика в самом начале решения, и (0;0) - когда исследовали функцию на границе области l1.

смотрите замечание после пункта а)
Цитата
Из полученных 8 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

верно
Цитата
график не надо чертить? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

не надо.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 5.4.2009, 14:22
Сообщение #17


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 5.4.2009, 14:02) *

Эту точку тоже лучше как-то переименовать, т.к. такой буквой у вас обозначена одна из угловых точек.


а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку F(0;0) принадлежит l1

Переименовала в F

Цитата

б) l2: 0<=у<=2, х=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=2/4=1/2
Следовательно получим точку M2(-1;1/2) принадлежит l2 - вторая стационарная точка

так



(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Цитата

в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) принадлежит l3 - третья стационарная точка

почему полученная точка принадлежит l3?


я разместила на графике, эту точку М3(-2;2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М3 непринадлежит l3.
В решении записываем так:
в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежит l3 -

Цитата

г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) принадлежит l4 - четвертая стационарная точка

аналогично предыдущему замечанию. Нанесите полученные точки на координатную плоскость, на которой у вас изображена область и посмотрите.



я разместила на графике, эту точку М4(1;-1/2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М4 непринадлежит l4.
В решении записываем так:
г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) не принадлежит l4

Цитата

Так, точек чтанет немного меньше.


Вычислим 6 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(А)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z( В )=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z( С )=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

Из полученных 6 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0
M=max z=z(1;2)=13


Цитата

график не надо чертить? (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

не надо.


(IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)

Все правильно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 5.4.2009, 14:37
Сообщение #18


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Nat111 @ 5.4.2009, 17:22) *

а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку F(0;0) принадлежит l1
Переименовала в F (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Так лучше.
Цитата
я разместила на графике, эту точку М3(-2;2), она не лежит на области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М3 непринадлежит l3.

лучше сказать, что не разместили, а отметили.
Цитата
В решении записываем так:
в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
[b]Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежит l3 -

Ну, следовательно, и области D.
Цитата
я разместила на графике, эту точку М4(1;-1/2), она не лежит в области D и находится в нижней части графика, т.е. точка М4 непринадлежит l4.
В решении записываем так:
г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) не принадлежит l4

вроде так
Цитата
Вычислим 6 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=(-1)^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2

так, только скобки поставьте.
Цитата
Угловые точки:
z(А)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z( В )=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z( С )=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

вроде верно
Цитата
Из полученных 6 значений выбираем наибольшее и наименьшее.
ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0, M=max z=z(1;2)=13 (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)

похоже на правду. Если нигде не потеряли что-либо.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Nat111
сообщение 5.4.2009, 14:43
Сообщение #19


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 227
Регистрация: 13.2.2009
Город: Казахстан, Темиртау
Учебное заведение: КарГУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 5.4.2009, 14:37) *


лучше сказать, что не разместили, а отметили.

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)

Цитата

Ну, следовательно, и области D.

Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежащая области D

Цитата

так, только скобки поставьте.

(IMG:style_emoticons/default/unsure.gif) спасибо расставлю

Цитата

похоже на правду. Если нигде не потеряли что-либо.

да вроде ничего не потеряла, проверила три раза (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

СПАСИБО ОГРОМНОЕ ЗА ПОМОЩЬ!!! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 5.4.2009, 14:46
Сообщение #20


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Удачи!
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

2 страниц V  1 2 >
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 29.3.2024, 0:27

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru