Ищу тождества, в левой части которых - функция арктангенса. Традиционные справочные формулы я изучил хорошо. А вот нестандартные, неожиданные, оригинальные... Кто знает такие или где их найти в инете?

И.Н Бронштейн, К.А. Семендяев "Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов".
Пункт2.5.2.1.7

Огромное спасибо за ссылку! Книгу скачал - она очень полная и полезная. На прилагаемом рисунке я более наглядно обрисовал свою проблему. Пожалуйста, если кто владеет информацией, поделитесь. Это в данный момент очень важно для решения практической задачи.

Какой?

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcTan/
Ваше тождество неверно, подставьте 1+i

Не спорю. В комплексной области имеет место подобная зависимость от параметров, как это было в действительной области с суммой и разностью арктангенсов. Я не ставил задачу так широко - мне для своих нужд достаточно работать с реальными величинами. Тем не менее, мне не составит особого труда сделать обобщение. Обязательно это сделаю. Спасибо.


Аппроксимация экспериментальных данных. Еще конкретней - изменение мутности воды в морских каналах в зависимости от глубины.

В апроксимации обязательно использовать arctg ?

Характер расположения точек таков, что очень похоже на arctg(x^3). Ранее сильно сглаживали логарифмическими кривыми, однако натурные наблюдения показали устойчивые конфинурации кривых, и только арктангес четко фиксирует узловые моменты.

А почему x^3?
Можно брать зависимость, например, в виде y=arctg(a*x^b ) или
y=[arctg(a*x^b )]^c и искать оптимальные параметры, например, методом наименьших квадратов, если измеренных точек достаточно много.

Ты поднял очень интересный вопрос - вопрос связи математики и физики. Это хорошо, когда удается аппроксимировать точки наблюдений. Но еще лучше, если найти закон изменения. Примеров много - законы электрических цепей, фильтрации, строительной механики и т.д. В моей задаче закон найден именно как я писал, но полное уравнение y=A*arctg(x^3)+B . Двух параметров хватает, чтобы удовлетворительно описать эксперименты. Но главное в другом - эта функция является суперпозицией трех факторов: сил гравитации, сил течения в условиях открытого водного пространства и силы Кориолиса. Графики этих трех составляющих вскрывают физику этих трех сил.

Не совсем понял Вашу задачу. У Вас есть набор точек, полученных экспериментально. Вы предполагаете, что закон изменения физического процесса описывается уравнением y=A*arctg(x^3)+B, где A,B - неизвестные параметры.

Возмите 2 точки экспериментальных данных, подствьте в уравнение y=A*arctg(x^3)+B и решите как систему 2 линейных уравнений. Найдете коэффициенты A, B. Далее постройте график. Экспериментальная кривая совпадает с кривой, построенной по аналитическому выражению? Если нет, значит процесс не описывается уравнением y=A*arctg(x^3)+B

Это было бы хорошо, но точки ложатся не четко на эту линию, а случайно отклоняются. Их (этих точек) - около 1000 , плучаются они цифровым способом. Обработка конечно же ведется методом минимума среднеквадратичного отклонения. Если брать крайние точки, то можно сильно промахнуться. Другое дело - это самое среднеквадратичное отклонение на порядок меньше, чем при аппроксимации принимаемой прежде функцией.

Если точки не четко "ложаться" (кладутся) на линию, но обеспечена хорошая повторяемость эксперимента, то выражение y=A*arctg(x^3)+B не точно описывает Ваш процесс, а сугубо приближенно.
Вот у Вас 1000 точек экспериментальных данных. Вы хотите более точно подобрать математическое выражение? Тогда лианеризуйте. Между крайними точками эксперимента напишите уравнение прямой. Получите 999 уравнений прямых и 999 интервалов. Далее разложите функцию в ряд Фурье и возьмите n-ое кол-во слагаемых разложения. Уравнение может получиться ну ООО..очень большое, но будет точно описывать Ваши экспериментальныые данные. Правда как на это посмотрят практики, которые будут пользоваться результатами такого труда? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Можно упростить задачу. Чаще делать лианеризацию, там где нелинейность явно выражена, и реже делать лианеризацию на участках, где функция более-менее линейна (имеется в виду скорость роста/убывания более менее постоянна)

Еще раз повторюсь: мне важна не аппроксимация вообще, а наилучшее описание физического закона, чтобы выявить составляющие, дающие результирующий эффект. Работать я буду именно с тремя силовыми факторами. Мне важно установить: как и в какой степени влияют на мутность силы гравитации, течения и Кориолиса. Цель - максимально уменьшить эту мутность чтобы снизить темпы заносимости морского канала и приходилось бы реже его углублять земснарядами.