Ищу тождества, в левой части которых - функция арктангенса. Традиционные справочные формулы я изучил хорошо. А вот нестандартные, неожиданные, оригинальные... Кто знает такие или где их найти в инете?

И.Н Бронштейн, К.А. Семендяев "Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов".
Пункт2.5.2.1.7

Огромное спасибо за ссылку! Книгу скачал - она очень полная и полезная. На прилагаемом рисунке я более наглядно обрисовал свою проблему. Пожалуйста, если кто владеет информацией, поделитесь. Это в данный момент очень важно для решения практической задачи.

Какой?

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcTan/
Ваше тождество неверно, подставьте 1+i

Не спорю. В комплексной области имеет место подобная зависимость от параметров, как это было в действительной области с суммой и разностью арктангенсов. Я не ставил задачу так широко - мне для своих нужд достаточно работать с реальными величинами. Тем не менее, мне не составит особого труда сделать обобщение. Обязательно это сделаю. Спасибо.


Аппроксимация экспериментальных данных. Еще конкретней - изменение мутности воды в морских каналах в зависимости от глубины.

В апроксимации обязательно использовать arctg ?

Характер расположения точек таков, что очень похоже на arctg(x^3). Ранее сильно сглаживали логарифмическими кривыми, однако натурные наблюдения показали устойчивые конфинурации кривых, и только арктангес четко фиксирует узловые моменты.

А почему x^3?
Можно брать зависимость, например, в виде y=arctg(a*x^b ) или
y=[arctg(a*x^b )]^c и искать оптимальные параметры, например, методом наименьших квадратов, если измеренных точек достаточно много.

Ты поднял очень интересный вопрос - вопрос связи математики и физики. Это хорошо, когда удается аппроксимировать точки наблюдений. Но еще лучше, если найти закон изменения. Примеров много - законы электрических цепей, фильтрации, строительной механики и т.д. В моей задаче закон найден именно как я писал, но полное уравнение y=A*arctg(x^3)+B . Двух параметров хватает, чтобы удовлетворительно описать эксперименты. Но главное в другом - эта функция является суперпозицией трех факторов: сил гравитации, сил течения в условиях открытого водного пространства и силы Кориолиса. Графики этих трех составляющих вскрывают физику этих трех сил.

Не совсем понял Вашу задачу. У Вас есть набор точек, полученных экспериментально. Вы предполагаете, что закон изменения физического процесса описывается уравнением y=A*arctg(x^3)+B, где A,B - неизвестные параметры.

Возмите 2 точки экспериментальных данных, подствьте в уравнение y=A*arctg(x^3)+B и решите как систему 2 линейных уравнений. Найдете коэффициенты A, B. Далее постройте график. Экспериментальная кривая совпадает с кривой, построенной по аналитическому выражению? Если нет, значит процесс не описывается уравнением y=A*arctg(x^3)+B

Это было бы хорошо, но точки ложатся не четко на эту линию, а случайно отклоняются. Их (этих точек) - около 1000 , плучаются они цифровым способом. Обработка конечно же ведется методом минимума среднеквадратичного отклонения. Если брать крайние точки, то можно сильно промахнуться. Другое дело - это самое среднеквадратичное отклонение на порядок меньше, чем при аппроксимации принимаемой прежде функцией.

Если точки не четко "ложаться" (кладутся) на линию, но обеспечена хорошая повторяемость эксперимента, то выражение y=A*arctg(x^3)+B не точно описывает Ваш процесс, а сугубо приближенно.
Вот у Вас 1000 точек экспериментальных данных. Вы хотите более точно подобрать математическое выражение? Тогда лианеризуйте. Между крайними точками эксперимента напишите уравнение прямой. Получите 999 уравнений прямых и 999 интервалов. Далее разложите функцию в ряд Фурье и возьмите n-ое кол-во слагаемых разложения. Уравнение может получиться ну ООО..очень большое, но будет точно описывать Ваши экспериментальныые данные. Правда как на это посмотрят практики, которые будут пользоваться результатами такого труда? Можно упростить задачу. Чаще делать лианеризацию, там где нелинейность явно выражена, и реже делать лианеризацию на участках, где функция более-менее линейна (имеется в виду скорость роста/убывания более менее постоянна)

Еще раз повторюсь: мне важна не аппроксимация вообще, а наилучшее описание физического закона, чтобы выявить составляющие, дающие результирующий эффект. Работать я буду именно с тремя силовыми факторами. Мне важно установить: как и в какой степени влияют на мутность силы гравитации, течения и Кориолиса. Цель - максимально уменьшить эту мутность чтобы снизить темпы заносимости морского канала и приходилось бы реже его углублять земснарядами.