У меня или логика отсутствует или я не понимаю чего-то. Допустим:

Теорема 1.1.
Если точки O, A, B, C лежат на прямой a так, что A и B лежат по одну сторону от точки O, точки B и C также лежат по одну сторону от точки O, тогда точки A и C лежат по одну сторону от точки O.

Доказательство
Проведем через точку O прямую b, отличную от a. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них принадлежит точка B. Так как отрезки AB и BC не пересекают прямую b, то точки A и C принадлежат той же полуплоскости, что и B. Тогда отрезок AC не пересекает прямую b и, следовательно, не содержит точку O. То есть точки A и C лежат по одну сторону от точки O.

Возьмем использованное в доказательстве утверждение, на которое оно опирается: "Так как отрезки AB и BC не пересекают прямую b..". Я не могу понять, откуда берется эта истина!? Или это основывается на какой-то аксиоме, но не вижу связи. С таким же успехом я мог бы сказать, что "Так как А и С лежат по одну сторону точки О.." и сразу доказывать было бы нечего. В общем у меня такое ощущение, что подобные утверждения просто высасываются из пальца и таких утверждений можно привести множество. В таком случае как я могу проверить, что мое доказательство верно или нет?

Поправьте меня, в чем я заблуждаюсь?
Спасибо.