Задачи ЛВП…
Привет всем… Помогите пожалуйста…
Вот сначала несложная задача: выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми…(посмотрите, правильно ли я составил матрицу и рассуждения)
a1= (4,-5,2,6)
a2 =(2,-2,1,3)
a3=(6,-3,3,9)
a4=(4,-1,5,6)

Я сам вот как сделал…
Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;
A вот матрица…
4 2 6 4 0
-5 -2 -3 -1 0
2 1 3 5 0
6 3 9 6 0
Я надеюсь, что я правильно думаю, проверьте плиз для меня этот пустяк важен…


А вот другая сложная задача
Она (номер 1305 из Проскурякова)…
Доказать, что если линейное подпространство Д пространства многочленов степени <=N
Содержит хотя бы один многочлен степени K для К=0,1,2,…р но не содержит многочленов степени k>p, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени <= p...
Я в принципе не слабый студент(в плане учебы), просто Линал сложная вещь…
Я специально номер указал, мало ли кто где-нить её видел или решал …

1. Решения однородной системы образует подпространство.

Доказательство: пусть
(*) a*x1+...+c*xn=0
произвольное уравнение однородной системы.
а) пусть х=(х1,...,хn) - решение,т.е. удовлетворяет (*). пусть р - произвольное число. Подставим р*х=(р*х1,...,р*xn) в (*):
a*р*x1+...+c*р*xn=р*(a*x1+...+c*xn)=р*0=0.
Поэтому р*х - тоже решение.
б) пусть х=(х1,...,хn), y=(y1,...,yn) - два решения системы(т.е. удовлетворяют (*)). Точно также доказывается, что x+y и x-y - тоже решения.
Поэтому множество решений - подпространство.

2. Обратно: если множество решений системы есть подпространство, то система однородна.
Доказательство. Пусть
(*) a*x1+...+c*xn=е
произвольное уравнение системы. Докажем, что е=0 (т.е. система однородна).

Пусть х=(х1,...,хn) - какое-либо решение,т.е. удовл. (*).
Тогда из линейности (-х)=(-х1,...,-хn) - тоже решение,т.е. удовл. (*).
Подставляя то и другое в (*), получим: е=-е,т.е. е=0. Ч.т.д.

Огромное спасибо venja