Задачи ЛВП…
Привет всем… Помогите пожалуйста…
Вот сначала несложная задача: выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми…(посмотрите, правильно ли я составил матрицу и рассуждения)
a1= (4,-5,2,6)
a2 =(2,-2,1,3)
a3=(6,-3,3,9)
a4=(4,-1,5,6)

Я сам вот как сделал…
Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;
A вот матрица…
4 2 6 4 0
-5 -2 -3 -1 0
2 1 3 5 0
6 3 9 6 0
Я надеюсь, что я правильно думаю, проверьте плиз для меня этот пустяк важен…


А вот другая сложная задача
Она (номер 1305 из Проскурякова)…
Доказать, что если линейное подпространство Д пространства многочленов степени <=N
Содержит хотя бы один многочлен степени K для К=0,1,2,…р но не содержит многочленов степени k>p, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени <= p...
Я в принципе не слабый студент(в плане учебы), просто Линал сложная вещь…
Я специально номер указал, мало ли кто где-нить её видел или решал …

Найти необходимое и достаточное условие того что множество решений СЛАУ рассматриваемых как матрицы-строки образуют подпространство матриц строк...
Если я правильно понимаю надо проверить условие замкнутости относительно
сложения и умножения на скаляр...
Но вот как это реализовать не представляю?
Вот к примеру
Имеем одну матрицу-строку, явл. решением СЛАУ
Имеем вторую ....
Рассмотрим их сложение, чтобы оно было задано, как я понимаю должны быть размерности одинаковы, а вот на большее фантазии не хватает....
Ведь суммой матриц-строк всегда будет матрица-строка...(т.е матрица тойже размерности)...

Получил.

Непонятно условие.

СЛАУ может либо не иметь решения (тогда и матрицы-то нет), либо иметь единственное решение (тогда вся матрица из одной строки), либо бесконечное (несчетное!) множество решений (Тогда матрица из бесконечного числа строк?).
Может быть просто вопрос состоит в том - когда множество решений образует подпространство в соответствующем арифметическом n-мерном пространстве (n- число неизвестных в системе).
На первый взгляд это может быть только в том случае, если система однородна (т.е. правые части ее =0). Для однородной системы известно (и это легко доказать), что множество ее решений образует подпространство.

Можно немного поподробнее... (если можно идею док-ва)...
Может я неправильно записал условие или еще что-нибудь.......