IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> ЛВП, линейные векторные пространства
Физик
сообщение 28.4.2007, 17:26
Сообщение #1


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Задачи ЛВП…
Привет всем… Помогите пожалуйста…
Вот сначала несложная задача: выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми…(посмотрите, правильно ли я составил матрицу и рассуждения)
a1= (4,-5,2,6)
a2 =(2,-2,1,3)
a3=(6,-3,3,9)
a4=(4,-1,5,6)

Я сам вот как сделал…
Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;
A вот матрица…
4 2 6 4 0
-5 -2 -3 -1 0
2 1 3 5 0
6 3 9 6 0
Я надеюсь, что я правильно думаю, проверьте плиз для меня этот пустяк важен…


А вот другая сложная задача
Она (номер 1305 из Проскурякова)…
Доказать, что если линейное подпространство Д пространства многочленов степени <=N
Содержит хотя бы один многочлен степени K для К=0,1,2,…р но не содержит многочленов степени k>p, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени <= p...
Я в принципе не слабый студент(в плане учебы), просто Линал сложная вещь…
Я специально номер указал, мало ли кто где-нить её видел или решал …
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 28.4.2007, 18:21
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Система векторов будет зависима только в том случае, когда определитеь, составленный из их координат, =0.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 29.4.2007, 4:21
Сообщение #3


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



А матрица , у которой считаем , составленный из координат должен как выглядеть?
Все координаты каждого вектора записываются в строку или в столбец, по идее не имеет значения да?
Не могли бы пояснить, почему если определитель равен нулю то система
линейно зависима...(просто этого я еще не слышал)...
p.s помогите пожалуйста со второй, может быть у кого-хорошо с теоретической компонентой...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 29.4.2007, 4:43
Сообщение #4


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(Физик @ 29.4.2007, 10:21) *

А матрица , у которой считаем , составленный из координат должен как выглядеть?
Все координаты каждого вектора записываются в строку или в столбец, по идее не имеет значения да?
Не могли бы пояснить, почему если определитель равен нулю то система
линейно зависима...(просто этого я еще не слышал)...


Все равно. Получаются максимум транспонированные квадратные матрицы, а их определители равны. Например, можно так:

4 -5 2 6
2 -2 1 3
6 -3 3 9
4 -1 5 6

Если определитель =0, то ранг r этой матрицы меньше 4, а потому (есть такая теорема) в матрице есть только r линейно-независимых строк (да и столбцов тоже), а потому в исходной системы векторов есть только r<4 линейно независимых, а потому вся система линейно зависима.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 29.4.2007, 4:46
Сообщение #5


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Просто мы еще ранг матрицы не прошли, а по-другому никак не проверишь да?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 29.4.2007, 5:32
Сообщение #6


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(Физик @ 28.4.2007, 23:26) *

Доказать, что если линейное подпространство Д пространства многочленов степени <=N
Содержит хотя бы один многочлен степени K для К=0,1,2,…р но не содержит многочленов степени k>p, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени <= p...
p.s помогите, пожалуйста, может быть у кого-хорошо с теоретической компонентой...


Ясно, что Д содержится в Lp. Докажем обратное включение. Пусть
P=a0+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
произвольный элемент из Lp. Докажем, что Р принадлежит и Д. Для этого, очевидно, достаточно показать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.
Если это так, то в силу линейности Д оно будет содержать и их линейную комбинацию:
a0*1+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
т.е. Р.
Итак, осталось доказать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.

1) по условию Д содержит некоторый многочлен Р0 степени 0, т.е. некоторое число а0 (не равное 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а0)*Р0 =1.
2)по условию Д содержит некоторый многочлен Р1 степени 1, т.е. Р1= а0 + а1*х (а1 не равно 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а1)*(Р1-а0*1) =х.
3)по условию Д содержит некоторый многочлен Р2 степени 2, т.е. Р2= а0 + а1*х +a2*x^2(а2 не равно 0). В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а2)*(Р2-а0*1-a1*x) =х^2.

И так далее - доберемся и до х^p.



Цитата(Физик @ 29.4.2007, 10:46) *

Просто мы еще ранг матрицы не прошли, а по-другому никак не проверишь да?


Тогда можно так, как это делали Вы:

Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;

Если расписать это равенство покоординатно, то получим ОДНОРОДНУЮ систему 4-х лин. уравнений с 4 неизвестными
A, B, C, D.
Если определитель ее не равен нулю, то у системы есть ЕДИНСТВЕННОЕ решение. А так как нулевое решение всегда есть у однородной системы, то других и не будет. А потому
А=0, B=0, C=0, D=0.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 29.4.2007, 5:47
Сообщение #7


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



А еще никто не подскажет как считать определители неквадратных матриц, то я посмотрел по записям только квадратных считали...
например матрица
1 4 7
4 16 14
можно ли дописать единицы?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 29.4.2007, 5:59
Сообщение #8


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Цитата(venja @ 29.4.2007, 5:32) *

A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;

Если расписать это равенство покоординатно, то получим ОДНОРОДНУЮ систему 4-х лин. уравнений с 4 неизвестными


Если я правильно понимаю тогда , определитель матрицы однородной системы всегда будет равен нулю, так как последний столбец будет нулевой...(ведь в последнем столбце надо писать то что стоит в правой части системы...)

----------------------------------------------------------
мы утверждаем что сначала a0,a1,a1... не равны нулю, как это грамотно обосновать, извините за глупость (я понимаю, что если они равны нулю, то многочлен уже не будет многочленом данной степени)...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 29.4.2007, 7:45
Сообщение #9


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



если они равны нулю, то многочлен уже не будет многочленом данной степени)...



Цитата(Физик @ 29.4.2007, 11:59) *

Если я правильно понимаю тогда , определитель матрицы однородной системы всегда будет равен нулю, так как последний столбец будет нулевой...(ведь в последнем столбце надо писать то что стоит в правой части системы...)



Определитель системы - это определитель матрицы, составленной ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ (не путать с расширенной матрицей системы).

(IMG:style_emoticons/default/ohmy.gif) "Я в принципе не слабый студент(в плане учебы)" (IMG:style_emoticons/default/ohmy.gif)

Цитата(Физик @ 29.4.2007, 11:47) *

А еще никто не подскажет как считать определители неквадратных матриц


Таковые не определены.
Не путать с минорами и алгебраическими дополнениями.

Странно, что после ответов не увидел ни одного "спасибо". Коробит.
Хотя привыкаешь. Хорошо, что большинство все-таки не такие.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 29.4.2007, 7:53
Сообщение #10


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Да, ну вы что спасибо огромное, venja, вы очень сильно мне помогли...(я просто так загружен был, что забыл элементарные правила поведения)...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 29.4.2007, 8:06
Сообщение #11


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Лады (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 1.5.2007, 16:20
Сообщение #12


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Найти необходимое и достаточное условие того что множество решений СЛАУ рассматриваемых как матрицы-строки образуют подпространство матриц строк...
Если я правильно понимаю надо проверить условие замкнутости относительно
сложения и умножения на скаляр...
Но вот как это реализовать не представляю?
Вот к примеру
Имеем одну матрицу-строку, явл. решением СЛАУ
Имеем вторую ....
Рассмотрим их сложение, чтобы оно было задано, как я понимаю должны быть размерности одинаковы, а вот на большее фантазии не хватает....
Ведь суммой матриц-строк всегда будет матрица-строка...(т.е матрица тойже размерности)...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 3.5.2007, 18:11
Сообщение #13


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(Физик @ 1.5.2007, 22:20) *

Найти необходимое и достаточное условие того что множество решений СЛАУ рассматриваемых как матрицы-строки образуют подпространство матриц строк...
Если я правильно понимаю надо проверить условие замкнутости относительно
сложения и умножения на скаляр...
Но вот как это реализовать не представляю?
Вот к примеру
Имеем одну матрицу-строку, явл. решением СЛАУ
Имеем вторую ....
Рассмотрим их сложение, чтобы оно было задано, как я понимаю должны быть размерности одинаковы, а вот на большее фантазии не хватает....
Ведь суммой матриц-строк всегда будет матрица-строка...(т.е матрица тойже размерности)...


Получил.

Непонятно условие.

СЛАУ может либо не иметь решения (тогда и матрицы-то нет), либо иметь единственное решение (тогда вся матрица из одной строки), либо бесконечное (несчетное!) множество решений (Тогда матрица из бесконечного числа строк?).
Может быть просто вопрос состоит в том - когда множество решений образует подпространство в соответствующем арифметическом n-мерном пространстве (n- число неизвестных в системе).
На первый взгляд это может быть только в том случае, если система однородна (т.е. правые части ее =0). Для однородной системы известно (и это легко доказать), что множество ее решений образует подпространство.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 4.5.2007, 7:38
Сообщение #14


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Цитата(venja @ 3.5.2007, 18:11) *

На первый взгляд это может быть только в том случае, если система однородна (т.е. правые части ее =0). Для однородной системы известно (и это легко доказать), что множество ее решений образует подпространство.

Можно немного поподробнее... (если можно идею док-ва)...
Может я неправильно записал условие или еще что-нибудь.......
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 4.5.2007, 8:14
Сообщение #15


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



1. Решения однородной системы образует подпространство.

Доказательство: пусть
(*) a*x1+...+c*xn=0
произвольное уравнение однородной системы.
а) пусть х=(х1,...,хn) - решение,т.е. удовлетворяет (*). пусть р - произвольное число. Подставим р*х=(р*х1,...,р*xn) в (*):
a*р*x1+...+c*р*xn=р*(a*x1+...+c*xn)=р*0=0.
Поэтому р*х - тоже решение.
б) пусть х=(х1,...,хn), y=(y1,...,yn) - два решения системы(т.е. удовлетворяют (*)). Точно также доказывается, что x+y и x-y - тоже решения.
Поэтому множество решений - подпространство.

2. Обратно: если множество решений системы есть подпространство, то система однородна.
Доказательство. Пусть
(*) a*x1+...+c*xn=е
произвольное уравнение системы. Докажем, что е=0 (т.е. система однородна).

Пусть х=(х1,...,хn) - какое-либо решение,т.е. удовл. (*).
Тогда из линейности (-х)=(-х1,...,-хn) - тоже решение,т.е. удовл. (*).
Подставляя то и другое в (*), получим: е=-е,т.е. е=0. Ч.т.д.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Физик
сообщение 4.5.2007, 13:54
Сообщение #16


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 27
Регистрация: 28.4.2007
Город: Омск
Учебное заведение: ОмГУПС
Вы: студент



Огромное спасибо venja
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 19.4.2024, 4:25

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru