Даны задания типа "сколько производных имеют решения в окрестности начала коордитнат..","выделить области на плоскости,в которых через каждую точку проходит единственное решение..","исследовать, являются ли функции линейно зависимыми" и т.п. Диф. уравнения и системы уравнений даются.
Где можно посмотреть решение аналогичных заданий?Желательно подробно, как для блондинок

Выложите сюда Ваши задачи, потому как по описанию сложно понять, о чем речь. Потому как ответить на первый вопрос оче-е-ень сложно.

Например, "Сколько производных имеют решения следующих уравнений в окрестности начала координат? у'=x+y^(7/3)"
Или такое: "исследовать особые точки данных уравнений и систем. Дать чертёж расположения интегральных кривых на плоскости (х,у)
y'=(x-4y)/(2y-3x)"
Ещё вот - "пользуясь теоремой существования и единственности, выделить области на плоскости (х,у), в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения или системы:
у'=2+(y-2x)^(1/3)
или система dx/dt=t+y
dy/dt=x+t^2|t|"
И так далее с упоминаниями теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, условий Рауса-Гурвица и критерия Михайлова

Думаю, надо дифферецировть обе части несколько раз. Но это если бы в вопросе не было слово "окрестность". Да и значение в 0 не помешает (ноль-не ноль?). Должна быть задача Коши?

Задача Коши предполагает начальное условие у(х0)=у0
то есть через точку, а не окрестность..
может, тут есть связь с особым решением?

Светлана, без паники!

Спокойно выложите сюда задачи с полными условиями. В крайнем случае Вас пошлют изучать примеры.

В первом уравнении надо несколько раз дифференцировать. Понятно, что как только попадется y в отрицательной степени, говорить об определенности производной в окрестности (0,0) сложно.

Особые точки исследуются стандартно. Находите собственные значения соответствующей матрицы и выясняете, какая особая точка. (стр. 33-35 http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf)

Выделить область существования и единственности тоже просто. В формулировке теоремы Коши-Липшица говорится об основном отрезке, на котором определено решение задачи Коши. Он находится явно по простому алгоритму. Собственно, его и надо найти.
(стр. 16)

Теоремы Ляпунова (стр. 50), Рауса-Гурвица (стр. 124) и Михайлова (стр. 127) относятся к теории устойчивости.

Теорию я читала ( Трушков В.В.)
но чтобы что-то понять мне нужна демонстрация на конкретном примере
я слишком давно училась, не могу въехать без разбора "на пальцах"

1.Пользуясь теоремой существования и единственности, выделить области на плоскости (х,у), в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения или системы:
у'=2+(y-2x)^(1/3)
или система
dx/dt=t+y
dy/dt=x+t^2|t|

2.Сколько производных имеют решения следующих уравнений в окрестности начала координат? у'=x+y^(7/3)

3.Исследовать особые точки данных уравнений и систем. Дать чертёж расположения интегральных кривых на плоскости (х,у)
y'=(x-4y)/(2y-3x)"

Это и есть полные условия задачи

А где же ВАШИ продвижения по решениям?

В третьей Вы составили матрицу, нашли её собственные значения?

Во второй вы хоть раз продифференцировали уравнение?

В третьей пытались найти максимум в прямоугольнике |x-x_0|<a, |y-y_0|<b?

спасибо за подсказки