Подскажите, пожалуйста, с чего начать решение задач такого типа?

Найти меру A в пространстве R2,
A = {(x, y) принадлежит R2 : |x| < 1, |y| < 1, x принадлежит Q, y не принадлежит Q}.

Я так понимаю, для начала мы получили квадрат размерностью 2 на 2.
По идее, если бы и x, и y принадлежали бы Q, то мера равнялась бы 4.
А если одна из координат не принадлежит Q, тогда мы что получаем?

И подскажите, пожалуйста, что будет, если ни одна координата не принадлежит Q?

Заранее огромное спасибо!!!

p.s. Всех с наступающим!!!

О какой мере речь?

о Лебеговой

Тогда что такое Q и какова лебегова мера этого множества (например, внутри отрезка [0, 1], т.е. Q в пересечении с [0, 1])?

Это вопрос в связи с фразой:

Q-Множество рациональных чисел.
какова лебегова мера этого множества?
Этого сказать не могу, видимо, в пересечении с отрезком [-1,1], раз |x| < 1, |y| < 1.

А какова мощность множества рациональных чисел, Вы знаете?

Множество рац.чисел счётно, т.е. столько же элементов сколько и в множестве натуральных чисел.

А какова мера Лебега множества, состоящего из одной точки?

она равна 0

А мера Лебега счётного числа точек? В частности, Q?

Тоже равна 0, т.е. и мера Q=0.
Только я, если честно, не совсем понимаю какой вывод должен из этого получиться.
Что мера A в итоге будет равна 0?
А как тогда влияет y на результат, если y не принадлежит Q?

А на графике тогда каким образом будет отображаться принадлежность x и y?
Это будет множество пересекающихся вертикальных и горизонтальных прямых? А на их пересечении будут пустые точки, если x или y принадлежит Q?

Давайте с A разберёмся. Если при заданном рациональном r из отрезка [0,1] рассмотреть множество A®={(r, y) | 0 <= y <= 1 - иррациональное}, какова мощность множества таких множеств в квадрате, как A собрать из такие множеств, какова мера Лебега каждого такого множества?

>>какова мера Лебега каждого такого множества
видимо, она равна 0, раз есть координаты принадлежащие Q
>>как A собрать из такие множеств
честно говоря, плохо это представляю. Думаю это будет совокупность рациональных и иррациональных точек.
>>какова мощность множества таких множеств в квадрате
та же, что и мощность множества натуральных чисел в квадрате

Да, не очень получается. При чём тут наличие точек c рациональными координатами у множества A( r )? Мера Лебега на прямой и на плоскости - две разные меры. Мерой Лебега на прямой не измеряют площади множеств на плоскости.

Давайте рассмотрим множество B( r ) = {(r,y) | 0 <= y <= 1}. Какова его мера Лебега (мы говорим о мере Лебега на плоскости, я надеюсь)? Например, множество B(0)={(0,y) | 0<= y <=1} - левая граница квадрата. Или множество B(1)={(1,y) | 0<= y <=1} - правая граница квадрата. Или множество B(1/2)={(1/2,y) | 0<= y <=1} - вертикальный отрезок, делящий квадрат пополам. Каковы их меры Лебега (площади, по-русски)?

если длина стороны квадрата = 1, то и длина отрезка (мера) будет 1.

Судя по всему, Вы действительно не хотите различать длину и площадь... У множеств на плоскости мерой Лебега является "площадь": это такая мера, которая на любом прямоугольнике [a, b]x[c, d] даёт (d-c)*(b-a) - его площадь.

Какова будет мера Лебега прямоугольника [-0.1, 0.1]x[0, 1]?

>>Судя по всему, Вы действительно не хотите различать длину и площадь...
Знаете, если бы я в этом хорошо разбиралась, то я бы и не спрашивала как решать.
>>Какова будет мера Лебега прямоугольника [-0.1, 0.1]x[0, 1]?
Исходя из формулы (d-c)*(b-a)=(1-0)*(0.1+0.1)=0.2

Да нет, как раз разбираетесь Вы неплохо, но сообщение №14 про то, что мера на плоскости не равна мере на прямой, проигнорировали (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)


Отлично. Верно ли, что у любого подмножества этого прямоугольника лебегова мера (площадь) будет не больше, чем 0.2?
А можно взять множество ещё меньше: [-0.01, 0.01]x[0, 1], его площадь будет 0.02. А можно ещё меньше.
А теперь, подумав, попробуйте сказать ещё раз: какова будет мера Лебега (площадь) множества B(0)={(0,y) | 0 <= y <= 1} (левой стороны единичного квадрата). Заметьте, это множество лежит во всех прямоугольниках, что мы выше нарисовали.

Равна 0?

Верно. А мера Лебега множества A(0), являющегося подмножеством B(0)? Напомню, A(0)={(0, y) | 0<=y<=1, y иррационально}?