Версия для печати темы

Автор: Tri 30.12.2008, 14:04

Подскажите, пожалуйста, с чего начать решение задач такого типа?

Найти меру A в пространстве R2,
A = {(x, y) принадлежит R2 : |x| < 1, |y| < 1, x принадлежит Q, y не принадлежит Q}.

Я так понимаю, для начала мы получили квадрат размерностью 2 на 2.
По идее, если бы и x, и y принадлежали бы Q, то мера равнялась бы 4.
А если одна из координат не принадлежит Q, тогда мы что получаем?

И подскажите, пожалуйста, что будет, если ни одна координата не принадлежит Q?

Заранее огромное спасибо!!!

p.s. Всех с наступающим!!!

Автор: malkolm 30.12.2008, 18:07

О какой мере речь?

Автор: Tri 30.12.2008, 18:56

о Лебеговой

Автор: malkolm 30.12.2008, 19:15

Тогда что такое Q и какова лебегова мера этого множества (например, внутри отрезка [0, 1], т.е. Q в пересечении с [0, 1])?

Это вопрос в связи с фразой:

Автор: Tri 31.12.2008, 6:11

Q-Множество рациональных чисел.
какова лебегова мера этого множества?
Этого сказать не могу, видимо, в пересечении с отрезком [-1,1], раз |x| < 1, |y| < 1.

Автор: malkolm 31.12.2008, 8:10

А какова мощность множества рациональных чисел, Вы знаете?

Автор: Tri 31.12.2008, 11:04

Множество рац.чисел счётно, т.е. столько же элементов сколько и в множестве натуральных чисел.

Автор: malkolm 31.12.2008, 13:48

А какова мера Лебега множества, состоящего из одной точки?

Автор: Tri 31.12.2008, 14:15

она равна 0

Автор: malkolm 31.12.2008, 19:25

А мера Лебега счётного числа точек? В частности, Q?

Автор: Tri 1.1.2009, 9:49

Тоже равна 0, т.е. и мера Q=0.
Только я, если честно, не совсем понимаю какой вывод должен из этого получиться.
Что мера A в итоге будет равна 0?
А как тогда влияет y на результат, если y не принадлежит Q?

А на графике тогда каким образом будет отображаться принадлежность x и y?
Это будет множество пересекающихся вертикальных и горизонтальных прямых? А на их пересечении будут пустые точки, если x или y принадлежит Q?

Автор: malkolm 1.1.2009, 11:18

Давайте с A разберёмся. Если при заданном рациональном r из отрезка [0,1] рассмотреть множество A®={(r, y) | 0 <= y <= 1 - иррациональное}, какова мощность множества таких множеств в квадрате, как A собрать из такие множеств, какова мера Лебега каждого такого множества?

Автор: Tri 1.1.2009, 16:58

>>какова мера Лебега каждого такого множества
видимо, она равна 0, раз есть координаты принадлежащие Q
>>как A собрать из такие множеств
честно говоря, плохо это представляю. Думаю это будет совокупность рациональных и иррациональных точек.
>>какова мощность множества таких множеств в квадрате
та же, что и мощность множества натуральных чисел в квадрате

Автор: malkolm 1.1.2009, 17:11

Да, не очень получается. При чём тут наличие точек c рациональными координатами у множества A( r )? Мера Лебега на прямой и на плоскости - две разные меры. Мерой Лебега на прямой не измеряют площади множеств на плоскости.

Давайте рассмотрим множество B( r ) = {(r,y) | 0 <= y <= 1}. Какова его мера Лебега (мы говорим о мере Лебега на плоскости, я надеюсь)? Например, множество B(0)={(0,y) | 0<= y <=1} - левая граница квадрата. Или множество B(1)={(1,y) | 0<= y <=1} - правая граница квадрата. Или множество B(1/2)={(1/2,y) | 0<= y <=1} - вертикальный отрезок, делящий квадрат пополам. Каковы их меры Лебега (площади, по-русски)?

Автор: Tri 1.1.2009, 17:30

если длина стороны квадрата = 1, то и длина отрезка (мера) будет 1.

Автор: malkolm 1.1.2009, 18:55

Судя по всему, Вы действительно не хотите различать длину и площадь... У множеств на плоскости мерой Лебега является "площадь": это такая мера, которая на любом прямоугольнике [a, b]x[c, d] даёт (d-c)*(b-a) - его площадь.

Какова будет мера Лебега прямоугольника [-0.1, 0.1]x[0, 1]?

Автор: Tri 2.1.2009, 7:48

>>Судя по всему, Вы действительно не хотите различать длину и площадь...
Знаете, если бы я в этом хорошо разбиралась, то я бы и не спрашивала как решать.
>>Какова будет мера Лебега прямоугольника [-0.1, 0.1]x[0, 1]?
Исходя из формулы (d-c)*(b-a)=(1-0)*(0.1+0.1)=0.2

Автор: malkolm 2.1.2009, 15:02

Да нет, как раз разбираетесь Вы неплохо, но сообщение №14 про то, что мера на плоскости не равна мере на прямой, проигнорировали


Отлично. Верно ли, что у любого подмножества этого прямоугольника лебегова мера (площадь) будет не больше, чем 0.2?
А можно взять множество ещё меньше: [-0.01, 0.01]x[0, 1], его площадь будет 0.02. А можно ещё меньше.
А теперь, подумав, попробуйте сказать ещё раз: какова будет мера Лебега (площадь) множества B(0)={(0,y) | 0 <= y <= 1} (левой стороны единичного квадрата). Заметьте, это множество лежит во всех прямоугольниках, что мы выше нарисовали.

Автор: Tri 2.1.2009, 15:05

Равна 0?

Автор: malkolm 2.1.2009, 15:19

Верно. А мера Лебега множества A(0), являющегося подмножеством B(0)? Напомню, A(0)={(0, y) | 0<=y<=1, y иррационально}?

Автор: Tri 2.1.2009, 17:21

Тоже равна 0

Автор: malkolm 2.1.2009, 17:30

А у множеств A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} при других 0 <= r <= 1 лебегова мера какова?

Осталось понять-таки, как составлено множество, лебегова мера которого Вам нужна (множество точек квадрата, у которых первая координата рациональна, вторая - иррациональна) из "вертикальных отрезков" A( r ), где r - некоторое рациональной число от 0 до 1. Ну и воспользоваться счётной аддитивностью меры Лебега.

Автор: Tri 3.1.2009, 11:33

>>А у множеств A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} при других 0 <= r <= 1 лебегова мера какова?
Тоже равна 0
т.е. множество A будет совокупностью иррациональных и рациональных координат. И, если A представлено как сумма счётного числа непересекающихся элементарных множеств, то мера суммы счётного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер. Т.е. в итоге мера A будет равна 0.

Автор: malkolm 3.1.2009, 14:39

Верно.

Автор: Tri 4.1.2009, 18:29

Теперь почти понятно:)
А как тогда обосновать, что мера множества иррациональных чисел равна 0?

Автор: malkolm 4.1.2009, 20:00

Мера множества иррациональных чисел равна +бесконечности.

Так, похоже, мой вывод о том, что мы со всем разобрались, был преждевременным.

У Вас множество A представлено или нет "как сумма счётного числа попарно непересекающихся множеств"? (Что значит элементарное множество, я не в курсе)

Забор из штакетника видели? Ещё раз призываю Вас подумать над вопросом: если при данном рациональном r у нас есть множество A( r ) = {(r, y) | 0<= y<=1, y иррационально}, то как из этих множеств составлено множество A = {(x,y) | 0<=x<=1, x рационально, 0<= y<=1, y иррационально}?

Автор: Tri 8.1.2009, 18:50

Только сейчас смогла в интернет выйти, надеюсь, malkolm, Вы ещё заходите в эту тему:)
т.е. множество будет выглядеть как совокупность вертикальных и горизонтальных отрезков, а на их пересечении будет "пустая" точка?

Автор: malkolm 8.1.2009, 20:05

Даже уже и не знаю, что делать. Такое ощущение, что Вы меня не слышите.
Давайте так что ли попробуем. Квадрат [0, 1]x[0, 1] представляете себе?

У нас есть несколько множеств точек. Я их запишу, но не все. А Вы попробуйте себе каждое из них представить в квадрате. Где оно там находится? Откуда взялись какие-то горизонтальные отрезки?

A(0) = {(0, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна нулю, а вторая иррациональна.
A(1/2)={(1/2, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 1/2, а вторая иррациональна.
A(2/3)={(2/3, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 2/3, а вторая иррациональна.
A(173/397)={(173/397, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 173/397, а вторая иррациональна.

Таких множеств столько, сколько есть рациональных чисел. Верно? Меру Лебега на плоскости каждого такого множества мы знаем - выше нашли.

Единственный вопрос: как через эти множества выражается множество A, о котором спрашивается у Вас в задаче?

Напомню, A - это было множество всех точек квадрата, первая координата которых рациональна, вторая - иррациональна.

Понимаете, есть совсем немного приёмов вычислять меры каких-либо множеств. Эти приёмы все зарыты в определении меры. Мера есть неотрицательная, счётно-аддитивная функция множеств. Вообще говоря, тут сидит единственный приём: чтобы найти меру какого-то сложного множества, его нужно разбить на семейство попарно непересекающихся более простых множеств, меры которых нам уже известны. Как в 3-м классе учили считать площади всяких разных фигур, разбивая их на кусочки. Именно этим мы и пытаемся с Вами заняться. Но забор увидеть |||||||| никак не выходит...

Автор: Tri 10.1.2009, 17:30

т.е., когда у нас, наоборот, x не принадлежит Q, а y принадлежит Q, то мы получаем множество горизонтальных отрезков, и только, когда обе координаты принадлежат Q, мы получаем множество пересекающихся отрезков?

Автор: malkolm 10.1.2009, 18:06

Когда обе координаты принадлежат Q, уже нет никаких отрезков. Их у нас и сейчас нет - уж больно они дырявые, а множество пар точек с двумя рациональными координатами есть и вовсе счётное множество точек.

Вы задачу-то решать будете? Или так и бросим?

Автор: Tri 10.1.2009, 19:07

Будем:)
я про др. варианты спрашиваю потому, что у меня есть ещё подобные задачи (x и y принадлежат Q и x и y не принадлежат Q).

решение этой задачи:
есть множество точек A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} 0 <= r <= 1. Мера этого множества равна 0(это мы определили). Соответственно, через сигма-аддитивность определяем, что мера множества таких множеств равна 0(мера суммы счётного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер).
=> Ответ: мера = 0.
Верно?

Автор: malkolm 10.1.2009, 19:40

Будет верно, как только будет ясно, где тут сумма счётного числа попарно непересекающихся слагаемых, и как она с нашим исходным множеством связана.

Вы вопрос, выделенный жирным шрифтом, так и будете игнорировать? Я могу попробовать его аршинными буквами выделить, да боюсь, модераторы забанят.

Автор: Tri 11.1.2009, 4:03

это будет множество множеств точек(непересекающихся слагаемых), у которых первая координата равна нулю, а вторая иррациональна.

Автор: malkolm 11.1.2009, 4:46

Неверно. У точек из исходного множества первая координата вовсе не обязательно равна нулю. Более того, это ответ не на заданный вопрос.

Пожалуйста, прочтите вопрос, прочтите определения множеств A( r ), условие задачи, и ответьте.

Я, кажется, начинаю понимать существо проблем. Давайте попробуем для начала вот на какой вопрос ответить (если Вы не станете этого делать, я больше ничем помочь не смогу).

Пусть даны множества
B = {(1,y) | 0<= y <= 1},
C = {(2,y) | 0<= y <= 1},
D = {(x,y) | x=1 или 2, 0<= y <= 1}.
Как записать множество D через множества B и C? Не надо слов. Ни одного. Формулу напишите.

Автор: Tri 11.1.2009, 4:58

Хотела написать, что первая координата рациональна

D=B в объединении с C

Автор: malkolm 11.1.2009, 5:03

Ну можно написать D = B+C или D=B U C. Тогда понятно, в том числе и про исходное множество.
Любопытно было бы посмотреть на решения других задач. Кстати, мы самого главного не выяснили: какое определение меры Лебега используется? Если не хочется, не отвечайте

Автор: Tri 11.1.2009, 5:10

Вообще-то др. задач нет, это первая задача
В первоначальном варианте задачи в условии не было сказано, что мы находим лебегову меру, скорее всего, имеется ввиду просто мера плоских множеств))

Автор: malkolm 11.1.2009, 10:14

Это же не плоское множество. А потом, мер бывает безумно много. Ну ладно, лебегова так лебегова.