Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу.

Случайные величины E(1) , E(2) независимы и имеют одно и тоже показательное распределение : P{E(i)<=x}=1-exp(-x), x>=0 , i=1,2
Необходимо найти P{|E(1)-E(2)|<=1}.


Начал решать:
F(e)=P{|E(1)-E(2)|<=x}
P{|E(1)-E(2)|<=x} - если найти , чему равно и подставить в F(1) получится ответ.
Раскрыл модуль
P{|E(1)-E(2)|<=x}=P{-x<=E(1)-E(2)<=x}=P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}
В итоге получил
P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}=?????
Что дальше делать - не знаю, застрял. Помогите пожалуйста.

Получатся так:
d^2
----------(F{X}(x1)*F{Y}(x2)) = F'{X}(x1)*F'{Y}(x2)
dx1 dx2

Теперь нужно вычислять интеграл.

Замечательно. Производная от функции распределения есть плотность распределения: F'{X}(x1)=f{X}(x1), F'{Y}(x2)=f{Y}(x2). Тем самым мы выяснили, что плотность совместного распределения двух независимых случайных величин равна произведению их плотностей.
Запишите теперь, чему теперь равняется плотность совместного распределения f{X,Y}(x1,x2)=f{X}(x1)*f{Y}(x2) для наших случайных величин X=E(1) и Y=E(2), имеющих показательное распределение. Плотность показательного распределения Вы выше выписывали.

После этого запишите интеграл и укажите пределы интегрирования.

Получилось так
F(x1)=exp(-x1) F'=-exp(-x)
F(x2)=exp(-x2)
d^2
----------(F{x1,x2}) = exp(-x1)exp(-x2)
dx1 dx2

int int {exp(-x1)exp(-x2)}dx1 dx2=exp(-x1)*exp(-x2) - надо теперь подставить пределы, предположу , что от 0 до 1. Правильно?

Функция распределения показательного распределения НЕ РАВНА exp(-x1). Это вообще не может быть функция распределения - она убывает. А плотность не может быть отрицательна.
Попробуйте, пожалуйста, запомнить хотя бы основные характеристики основных распределений и их свойства.

Несмотря на это совместная плотность получилась верная, но только при x1 >0, x2 >0.

А что за неопределённый интеграл Вы считаете? Это двойной интеграл. По какой области D нужно интегрировать? Если подставить пределы от 0 до 1 и от 0 до 1, получится вероятность события 0<=E(1)<=1, 0<=E(2)<=1. Это не то событие, которое нужно.

Функция(при х<=0) и плотность(при х<0) показательного распределения равны 0.
Неопределенный интеграл я посчитал , тк не знаю области D, осталось подставить только пределы.
Событие которое нужно |E(1)-E(2)|<=1
Значит , необходимо узнать в каких пределах E(2) , чтобы узнать какие у E(1).
E(2)-1<=E(1)<=E(2)+1 //E(2)=1-exp(-x2)
-exp(-x2)<=E(1)<=2-exp(-x2) , при этом x1,x2>=0.Значит , -exp(-x2)- всегда отрицательна ,а при x2-> беск , стремится к 0
2-exp(-x2) имеет минимальное значение [1,2). 1 при x2=0 , 2 при x2-> бесконечности.
Значит , E(1)- лежит в промежутке от 0 до 2.

Равенства типа E(1) = exp(-x1) и т.п. не просто неверны - они бессмысленны. E(1) и E(2) у Вас в условии - случайные величины. Функции exp(-x1) и exp(-x2) - их плотности распределения.

Ещё раз: чтобы посчитать вероятность паре случайных величин (E(1),E(2)) попасть в какую-то часть D плоскости, нужно совместную плотность интегрировать по D.

Вопрос: что такое D, если нам нужно найти вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}?

D - это некоторая область , в которой в которой может находится вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}( сказано криво).

Неверно.

Спасибо , за помошь , я разобрался и решил.