Версия для печати темы

Автор: steph 21.12.2008, 22:41

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу.

Случайные величины E(1) , E(2) независимы и имеют одно и тоже показательное распределение : P{E(i)<=x}=1-exp(-x), x>=0 , i=1,2
Необходимо найти P{|E(1)-E(2)|<=1}.


Начал решать:
F(e)=P{|E(1)-E(2)|<=x}
P{|E(1)-E(2)|<=x} - если найти , чему равно и подставить в F(1) получится ответ.
Раскрыл модуль
P{|E(1)-E(2)|<=x}=P{-x<=E(1)-E(2)<=x}=P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}
В итоге получил
P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}=?????
Что дальше делать - не знаю, застрял. Помогите пожалуйста.

Автор: malkolm 22.12.2008, 6:43

Записать двойной интеграл от плотности совместного распределения величин E(1) и E(2) по области |x-y| <= 1. Вычислить. Как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин?

Автор: steph 22.12.2008, 6:55

То есть по определению:
/ /
| |P(E1,E2)(x1,x2) dx1 dx2
/ /
D
---------------------------------------
Тогда немного не понятно, как будет выглядить подинтегральная функция.

Автор: malkolm 22.12.2008, 7:16

Да. Подынтегральная функция будет выглядеть так, как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин.

Автор: steph 22.12.2008, 7:25

То есть получается (наверное ошибаюсь все же):

/ /
| |(1-exp(-x)dxdy=...
/ /
|x-y|<=1
Правильно?

Автор: malkolm 22.12.2008, 7:48

Нет, неправильно. У Вас есть какие-то принципиальные соображения, по которым Вы не хотите прочесть, что такое показательное распределение, как выглядит у него плотность, что такое независимые случайные величины и как плотность их совместного распределения связана с их плотностями?

Автор: steph 22.12.2008, 7:57

Я (честно) много раз перечитал , что такое показательное распределение и совместное распределение.
Но вот не могу понять , как применить здесь (практически) плотность совместного распределения.

Автор: malkolm 22.12.2008, 12:42

Не верю. Как выглядит плотность распределения случайной величины E(1)?

Автор: steph 22.12.2008, 18:33

по определению:
F(E1)=exp(-x)
Я вот никак не могу подставить нормально значения в формулу совместного распределения((((( Очень нужна помощь.

Автор: malkolm 22.12.2008, 18:40

Вы хотели сказать, наверное, f(x)=exp(-x), да ещё и только при х>0. Небрежность с аргументами функций скоро выйдет боком.

Хорошо. Если две случайных величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Автор: steph 22.12.2008, 18:53

Вроде тогда так.
............//
P(X,Y)=|| f(X,Y) DX DY
...........//
..........D

Автор: malkolm 22.12.2008, 19:06

Большими буквами принято обозначать случайные величины. А переменные - маленькими. А дифференциал - маленькой буквой d.

Интеграл Вы уже писали. Но пока Вы функцию f(x,y) не найдёте, от этого интеграла проку никакого. Снова повторяю вопрос: если две случайные величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Автор: steph 22.12.2008, 19:28

Я ошибаюсь ( тк наверняка не знаю , но предположу ( не нашел нигде))

d(F(X,Y))/dxdy

Автор: malkolm 22.12.2008, 19:46

dF(x,y)/dxdy. Ещё раз - функция зависит от переменных x и y. X и Y - это не переменные этой функции, а случайные величины: F(x,y)=P(X < x, Y < y).
А функция распределения вектора из независимых случайных величин как выражается через их функции распределения? Вообще определение независимости случайных величин было хоть одно?

Автор: steph 22.12.2008, 20:04

Случайные величины X,Y называются независимыми , если для любого x1,x2 пренадлежащих R^2 выполняется следующее равенство
F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)
Так же две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:10

Отлично. Что будет, если продифференцировать это равенство по х1 и по x2? Какое равенство для плотностей получится?

Автор: steph 22.12.2008, 20:13

F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)

тогда получится : F{Y}(x2)*d(F{X}(x1)/dx+F{X}(x1)*dF{Y}(x2)/dy
Должно быть так.

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:18

И что это Вы делаете? Плотность есть производная функции распределения. Совместная плотность - смешанная производная совместной функции распределения. По её аргументам. А не по чужим.

Автор: steph 22.12.2008, 20:25

То есть ( я довольно смутно , просто себе представляю)
=F{X}(x1)*d(F{Y}(x2))/dxdy+d(F{X}(x1))/dxdy*F{Y}(x2)

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:30

Кто такие x и y, по которым Вы дифференцируете???
f{X,Y}(x1, x2)=dF{X,Y}(x1,x2)/dx1dx2

Автор: steph 22.12.2008, 20:33

Да , действительно , я перепутал.
У меня вот вопрос , как тогда записать F{X,Y} ????

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:36

Вы записали: F{X,Y}(x1,x2) =F{X}(x1)*F{Y}(x2).
Продифференцируйте это равенство сначала по x1, потом по x2. Слева будет совместная плотность. Что будет справа?

Автор: steph 22.12.2008, 20:39

справа будет
dF{X}(x1)/dx1*F{Y}(x2)+F{X}(x1)*dF{Y}(x2)/dx2 , дифференциал произведения.

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:44

Ну всё, я точно пас. При чём тут дифференциал произведения? Когда Вы по x1 дифференцируете, F{Y}(x2) - постоянный множитель. Потом по x2 дифференцируете, тоже вынося функцию от x1 как постоянный множитель.

А что за величина dF{X}(x1)/dx1, Вы знаете?

Автор: steph 22.12.2008, 20:51

Я так и сделал , может выразился неправильно.
Что за величина dF{X}(x1)/dx1 - не могу точно сказать.

Автор: malkolm 22.12.2008, 20:55

Вы сделали неправильно, а не выразились. Прочтите ещё раз - как вычислять смешанную производную.

Знаете что? Откройте-ка свои лекции, найдите там, как плотность находится по функции распределения. Потом научитесь вычислять смешанные производные по x,y от функций типа x^4*y^3. Потом можно будет вернуться к задаче, не раньше.

Автор: steph 23.12.2008, 2:45

Смешанная произвдная от x^4*y^3 будет выглядить сдедающим образом
u=x^4*y^3
u'=4x^3*y^3+3*x^4*y^2
Плотностью распределения вероятностей первая производная от функции распределения F(x).

Автор: tig81 23.12.2008, 7:55

Это по какой переменной дифференцируете?

Автор: steph 23.12.2008, 8:01

По x и по y, производная первого порядка.

Автор: tig81 23.12.2008, 8:07

Как-то "интересно" вы дифференцируете. А напишите общую формулу для вычисления первой производной от функции двух переменных. Понятие частной производной вам известно?

Автор: steph 23.12.2008, 21:11

Да известно. Производные я брать умею. Формулу тоже знаю , считаю , что взял правильно , если нет , прошу поправить.Однако вопрос все равно открытый по поводу показательного распределения.

Автор: tig81 23.12.2008, 22:00

u' - это производная функции u по какой из переменных? Напишите, пожалуйста формулу, по которой считали.

Автор: steph 23.12.2008, 22:24

Вот так
f=U(x,y)
f'=U'(x,y)dx+U'(x,y)dy

Вот по это й формуле я и считал.

Автор: tig81 23.12.2008, 22:39

Это вы нашли http://www.sbras.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode/m-12/m-12.html df, а я так понимаю, вас просят найти частную производную.

Автор: steph 23.12.2008, 22:43

Тогда прошу прощения

f'(x,y)_y=3*x^4*y^2

f'(x,y)_x=4*x^3*y^3

Автор: tig81 23.12.2008, 22:48

В сообщениях malkolmа речь шла о смешанной производной. Для данной функции она равна...

Автор: steph 23.12.2008, 22:52

Тогда , что надо дальше сделать
f(x1,x2)=|exp(-x1)-exp(-x2)|
f'(x1,x2)_x2=exp(-x1)+exp(-x2)
f'(x1,x2)_x1=-exp(-x1)-exp(-x2)
Но тк модуль , то f'(x1,x2)_x1==f'(x1,x2)_x2.

Автор: malkolm 24.12.2008, 17:20

Так как же выглядит смешанная производная по x и по y от функции x^4*y^3 ?

d^2
------ (x^4*y^3) = ?
dx dy

После этого Вам нужно продифференцировать по х1 и по х2 произведение функций распределения F{X}(x1)*F{Y}(x2).
Это нужно затем, чтобы плотность совместного распределения двух независимых случайных величин найти, не зная определений.

Впрочем, мне уже заранее плохо от одной мысли о том, как потом мы будет вычислять интеграл...

А откуда взялась и что означает первая формула в Вашем последнем сообщении, я не в курсе. Функция |exp(-x1)-exp(-x2)| к данной задаче отношения не имеет.

Автор: steph 24.12.2008, 17:48

Поскольку
d^2
------ (x^4*y^3) = 4x^3*y^3+3*x^4*y^2 - не правильно , осмелюсь
dx dy
предположить , что это
d^2
------ (x^4*y^3) = 12x^3*y^2
dx dy
Зачем тогда дана |exp(-x1)-exp(-x2)| ????????
!Плотностью совместного распределения! вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения.

Автор: malkolm 24.12.2008, 18:28

Отлично. Теперь продифференцируйте так же, но по x1 и по x2, функцию распределения, которая из-за независимости равна произведению F{X}(x1)*F{Y}(x2).

Нигде никакая |exp{-x1}-exp{-x2}| не дана.

Автор: steph 24.12.2008, 18:55

Получатся так:
d^2
----------(F{X}(x1)*F{Y}(x2)) = F'{X}(x1)*F'{Y}(x2)
dx1 dx2

Теперь нужно вычислять интеграл.

Автор: malkolm 24.12.2008, 19:27

Замечательно. Производная от функции распределения есть плотность распределения: F'{X}(x1)=f{X}(x1), F'{Y}(x2)=f{Y}(x2). Тем самым мы выяснили, что плотность совместного распределения двух независимых случайных величин равна произведению их плотностей.
Запишите теперь, чему теперь равняется плотность совместного распределения f{X,Y}(x1,x2)=f{X}(x1)*f{Y}(x2) для наших случайных величин X=E(1) и Y=E(2), имеющих показательное распределение. Плотность показательного распределения Вы выше выписывали.

После этого запишите интеграл и укажите пределы интегрирования.

Автор: steph 24.12.2008, 19:34

Получилось так
F(x1)=exp(-x1) F'=-exp(-x)
F(x2)=exp(-x2)
d^2
----------(F{x1,x2}) = exp(-x1)exp(-x2)
dx1 dx2

int int {exp(-x1)exp(-x2)}dx1 dx2=exp(-x1)*exp(-x2) - надо теперь подставить пределы, предположу , что от 0 до 1. Правильно?

Автор: malkolm 24.12.2008, 20:46

Функция распределения показательного распределения НЕ РАВНА exp(-x1). Это вообще не может быть функция распределения - она убывает. А плотность не может быть отрицательна.
Попробуйте, пожалуйста, запомнить хотя бы основные характеристики основных распределений и их свойства.

Несмотря на это совместная плотность получилась верная, но только при x1 >0, x2 >0.

А что за неопределённый интеграл Вы считаете? Это двойной интеграл. По какой области D нужно интегрировать? Если подставить пределы от 0 до 1 и от 0 до 1, получится вероятность события 0<=E(1)<=1, 0<=E(2)<=1. Это не то событие, которое нужно.

Автор: steph 24.12.2008, 21:00

Функция(при х<=0) и плотность(при х<0) показательного распределения равны 0.
Неопределенный интеграл я посчитал , тк не знаю области D, осталось подставить только пределы.
Событие которое нужно |E(1)-E(2)|<=1
Значит , необходимо узнать в каких пределах E(2) , чтобы узнать какие у E(1).
E(2)-1<=E(1)<=E(2)+1 //E(2)=1-exp(-x2)
-exp(-x2)<=E(1)<=2-exp(-x2) , при этом x1,x2>=0.Значит , -exp(-x2)- всегда отрицательна ,а при x2-> беск , стремится к 0
2-exp(-x2) имеет минимальное значение [1,2). 1 при x2=0 , 2 при x2-> бесконечности.
Значит , E(1)- лежит в промежутке от 0 до 2.

Автор: malkolm 24.12.2008, 21:12

Равенства типа E(1) = exp(-x1) и т.п. не просто неверны - они бессмысленны. E(1) и E(2) у Вас в условии - случайные величины. Функции exp(-x1) и exp(-x2) - их плотности распределения.

Ещё раз: чтобы посчитать вероятность паре случайных величин (E(1),E(2)) попасть в какую-то часть D плоскости, нужно совместную плотность интегрировать по D.

Вопрос: что такое D, если нам нужно найти вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}?

Автор: steph 24.12.2008, 21:16

D - это некоторая область , в которой в которой может находится вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}( сказано криво).

Автор: malkolm 25.12.2008, 2:28

Неверно.

Автор: steph 27.12.2008, 6:03

Спасибо , за помошь , я разобрался и решил.