Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу.

Случайные величины E(1) , E(2) независимы и имеют одно и тоже показательное распределение : P{E(i)<=x}=1-exp(-x), x>=0 , i=1,2
Необходимо найти P{|E(1)-E(2)|<=1}.


Начал решать:
F(e)=P{|E(1)-E(2)|<=x}
P{|E(1)-E(2)|<=x} - если найти , чему равно и подставить в F(1) получится ответ.
Раскрыл модуль
P{|E(1)-E(2)|<=x}=P{-x<=E(1)-E(2)<=x}=P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}
В итоге получил
P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}=?????
Что дальше делать - не знаю, застрял. Помогите пожалуйста.

Записать двойной интеграл от плотности совместного распределения величин E(1) и E(2) по области |x-y| <= 1. Вычислить. Как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин?

То есть по определению:
/ /
| |P(E1,E2)(x1,x2) dx1 dx2
/ /
D
---------------------------------------
Тогда немного не понятно, как будет выглядить подинтегральная функция.

Да. Подынтегральная функция будет выглядеть так, как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин.

То есть получается (наверное ошибаюсь все же):

/ /
| |(1-exp(-x)dxdy=...
/ /
|x-y|<=1
Правильно?

Нет, неправильно. У Вас есть какие-то принципиальные соображения, по которым Вы не хотите прочесть, что такое показательное распределение, как выглядит у него плотность, что такое независимые случайные величины и как плотность их совместного распределения связана с их плотностями?

Я (честно) много раз перечитал , что такое показательное распределение и совместное распределение.
Но вот не могу понять , как применить здесь (практически) плотность совместного распределения.

Не верю. Как выглядит плотность распределения случайной величины E(1)?

по определению:
F(E1)=exp(-x)
Я вот никак не могу подставить нормально значения в формулу совместного распределения((((( Очень нужна помощь.

Вы хотели сказать, наверное, f(x)=exp(-x), да ещё и только при х>0. Небрежность с аргументами функций скоро выйдет боком.

Хорошо. Если две случайных величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Вроде тогда так.
............//
P(X,Y)=|| f(X,Y) DX DY
...........//
..........D

Большими буквами принято обозначать случайные величины. А переменные - маленькими. А дифференциал - маленькой буквой d.

Интеграл Вы уже писали. Но пока Вы функцию f(x,y) не найдёте, от этого интеграла проку никакого. Снова повторяю вопрос: если две случайные величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Я ошибаюсь ( тк наверняка не знаю , но предположу ( не нашел нигде))

d(F(X,Y))/dxdy

dF(x,y)/dxdy. Ещё раз - функция зависит от переменных x и y. X и Y - это не переменные этой функции, а случайные величины: F(x,y)=P(X < x, Y < y).
А функция распределения вектора из независимых случайных величин как выражается через их функции распределения? Вообще определение независимости случайных величин было хоть одно?

Случайные величины X,Y называются независимыми , если для любого x1,x2 пренадлежащих R^2 выполняется следующее равенство
F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)
Так же две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Отлично. Что будет, если продифференцировать это равенство по х1 и по x2? Какое равенство для плотностей получится?

F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)

тогда получится : F{Y}(x2)*d(F{X}(x1)/dx+F{X}(x1)*dF{Y}(x2)/dy
Должно быть так.

И что это Вы делаете? Плотность есть производная функции распределения. Совместная плотность - смешанная производная совместной функции распределения. По её аргументам. А не по чужим.

То есть ( я довольно смутно , просто себе представляю)
=F{X}(x1)*d(F{Y}(x2))/dxdy+d(F{X}(x1))/dxdy*F{Y}(x2)

Кто такие x и y, по которым Вы дифференцируете???
f{X,Y}(x1, x2)=dF{X,Y}(x1,x2)/dx1dx2