условие: На окружности выбраны точки А В и С так, что хорда ВС параллельна касательной в точке А. На каком расстоянии от точки А должна проходить хорда ВС, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
думаю что нужно выразить S(h), но как? если площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то тогда как выразить хорду ВС (основание получается)?
Как вообще подступиться к этой задаче? И как будет выглядеть функция?

Ясно, что это расстояние должно зависеть от радиуса окружности r и выражаться через него.

Проведем диаметр AD. Обозначим угол DAC через а (меняется от 0 до 90 градусов). Из прямоугольного треугольника ADC:
AC=2r*cosa.
Тогда площадь треугольника
S(a)=(1/2)*(2*r*cosa)^2*sin(2a)=4r^2*sina*(cosa)^3
Производная
S'(a)=4r^2*(cosa)^2*[(cosa)^2-3*(sina)^2]

Отсюда оптимальное а=30 градусов.
А нужное расстояние
h=AC*cosa=2r*(cosa)^2=(3/2)*r

Проверяйте.