подскажите что можно сделать...

ну во-первых забыл сразу оговориться что для решения этого примера использовать правило Лопиталя мне нельзя
+ если все делать правильно то вылезает перед ctg8xlntgx еще "e"

ведь заменяя tgx^ctg8x на e^ln(tgx^ctg8x) потом то e никуда не пропадает а так и остается..

так и есть, но речь шла только о степени.
Тогда пробуйте делать замену, предложенную графом Монте-Кристо

я пробывал и сейчас пробую еще раз, но получается е в степени lim (t->0) ctg(8t+2pi)*(tg(t+pi/4 - 1)

и применяю формулы суммы: tg(A+B )=tg(A) + tg(B ) / 1 - tg(A)*tg(B ) и ctg(A+B )=ctg(A)*ctg(B ) - 1 / ctg(B ) + ctg(A)

выражение tg(t+pi/4) - 1 превращается при применении эквивалентности tgx ~ x в выражение "один минус корень из двух деленое на корень из двух"
и то все это условно потому что там разность(сумма) выражений при которых эквивалентность применять нельзя, вообщем пока что-то тоже не получается

хотя вот сейчас "законным" способом сделал и получилось

e^lim(t->0) ctg(8t+2pi)*(корень из двух миннус два деленое на два)

по идее, если e^lim(t->0) ctg(8t+2pi)*(корень из двух миннус два деленое на два)
преобразовать, поменяв ctg на tg и убрав 8t умножив 8 на 0, то получится

e^lim(t->0) 1/tg(2pi)*(корень из двух миннус два деленое на два)

1/tg(2pi) = 1/0 - это бесконечность, бесконечность умноженное на число это бесконечность, и "e" в степени бесконечность это тоже бесконечность и ответ получится бесконечность( ну или минус бесконечность, если учесть что корень из двух минус два деленое на два это отрицательное число )

но что-то сомневаюсь...

да ошибся с тангенсом, че то тупанул, это неправильно будет..

получается у меня e^lim(t->0) ctg(8t)*(2tg(t) / 1 - tg(t) )

выражение в скобке это ноль, надо опять что то делать с тангенсом, как и в случае до замены..

Получает ответ: e^1/4

Спасибо tig81 !