подскажите что можно сделать...

Неопределенность определили?

Запишите функцию в виде: tgx^ctg8x=e^ln(tgx^ctg8x)

разве это не приведет к тому же ctg8x*(tgx - 1) как и при использовании замечательного предела ?

я бы даже сказал, что так и получится, к тангенсу добавляем и вычитаем единицу и домножаем степень на 1/(tgx - 1) и на tgx - 1
получается замечательный предел и выходит - е в степени lim (x-> pi/4) ctg8x*(tgx-1) это я и сам мог разложить а дальше как упростить ведь все равно получается неопределенность