Пожалуйста, кто может, помогите!! Мне нужно срочно сдавать работу, но никак не могу врубиться в ряды.... Вот задание: а)Исследовать сходимость ряда: сумма по n от 1 до бесконечности (n/(3n-1))^(2n-1)
б)Определить область сходимости ряда: сумма по n от 1 до бесконечности (n*x^n)/((n^2)+1)

Если кому- нибудь не сложно, то помогите, please! (IMG:style_emoticons/default/huh.gif) (Со школы все уже забылось, а без преподавателя мне никак не разобраться)

Сначала можно определить радиус сходимости R этого степенного ряда по формуле:

R=lim |a(n)|/|a(n+1)| при n->00. В Вашем случае a(n)= n/((n^2)+1), для получения выражения для
a(n+1) в выражении для a(n) вместо n подставьте n+1 .
Думаю, будет R=1. Поэтому ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ есть интервал (-R, R). Область сходимости состоит из интервала сходимости и, возможно, граничных точек R и (-R). Принадлежность этих точек области сходимости проверяется отдельно подстановкой этих значений в исходный ряд вместо х и исследованием сходимости получающегося числового ряда.

А я решала по Даламберу, т. е. lim(n стрем. к беск-ти)=(Un+1)/Un=(X)*(n^3+n^2+n+1)/(n^3+2*n^2+2*n)=(x)(только выражения с X везде по модулю, мне его просто на клавиатуре не найти)
Дальше при (х)<1, т. е. -1<x<1 ряд сходится
при (х)>1, т.е. х>1, x<-1 ряд расходится
при x=1 lim=0, ряд сходится
при х=-1 получается знакочередующийся ряд сумма по n от 1 до бесконечности (n*(-1)^n)/((n^2)+1) и вот тут я вроде запуталась сходится ряд или нет? проверьте все решение , пожалуйста!

Можно и по Даламберу - сделали Вы это правильно.
А дальше надо так:
При х=1 получается ряд С общим членом n*/((n^2)+1)
Этот ряд РАСХОДИТСЯ. Чтобы это доказать, можно воспользоваться признаком сравнения в предельной форме и сравнить этот ряд с расходящимся гармоническим рядом с общим членом 1/n.
Предел отношения общих членов этих рядов =1(легко), а потому первый ряд ведет себя так же, как и второй,т.е. расходится. Если Вы не проходили признак сравнения в ПРЕДЕЛЬНОЙ форме, то можно и в обычной форме, учтя, что
n*/((n^2)+1)=1/(n+(1/n))>1/(n+n)=(1/2)*(1/n), а ряд с последним общим членом расходится (половина гармонического ряда).
При х=-1 получается ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЙСЯ ряд (n*(-1)^n)/((n^2)+1)
Он сходится по ПРИЗНАКУ ЛЕЙБНИЦА для таких рядов, т.к. выполняются условия этого признака:
1)выражение n*/((n^2)+1)=1/(n+(1/n)) очевидно убывает с ростом n
2) предел этого выражения, очевидно, =0

Итак, область сходимости [-1, 1)