Версия для печати темы

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 10:23

Пожалуйста, кто может, помогите!! Мне нужно срочно сдавать работу, но никак не могу врубиться в ряды.... Вот задание: а)Исследовать сходимость ряда: сумма по n от 1 до бесконечности (n/(3n-1))^(2n-1)
б)Определить область сходимости ряда: сумма по n от 1 до бесконечности (n*x^n)/((n^2)+1)

Если кому- нибудь не сложно, то помогите, please! (Со школы все уже забылось, а без преподавателя мне никак не разобраться)

Автор: Dimka 17.4.2007, 10:37

1. Используйте радикальный признак Коши
2.По признаку Даламбера

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 10:48

Спасибо за внимание, но у меня еще существует некоторая проблема с пределами, поэтому и не получается. (в методичке- то вроде все объяснено, но я в пределах путаюсь... ) А вы не подскажете, как это записать?

Автор: Dimka 17.4.2007, 10:51

Ну, Вы напишите в каком Вы пределе запутались, а мы попробуем распутать.

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 10:59

Если честно, то я не могу ВООБЩЕ понять, как исследовать эти ряды. Там все через пределы, а пределы я уже со школы не помню вообще.

Автор: Dimka 17.4.2007, 11:04

Ну тогда чтоже Вы от нас хотите? В правилах форума написано не рашать за Вас, а только отвечать на конкретные вопросы, которых у Вас пока нет, т.к. Вы совсем не понимаете о чем идет речь.

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 11:09

Тогда уж не "совсем не понимаете", а "не совсем понимаете". Не надо представлять меня бессовестной халявщицей. с остальными всеми заданиями я справилась сама(кроме еще двух) и если Вам сложно привести мне хотя бы какой- нибудь более конкретный пример, чем приводятся в методичках, то спасибо и на этом.

Автор: Dimka 17.4.2007, 11:16

Ну приведу я решение 1 примера

По пр. Коши

lim (n/(3n-1))^(2-1/n) = 1/9<1 ряд сходится

Дальше что, у Вас знаний прибавиться?

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 11:19

а почему Вы думаете, что не прибавится? Вполне возможно, между прочим.. Сейчас попробую..

Автор: Dimka 17.4.2007, 11:31

Да у Вас целая метода с примерами перед глазами лежит и толку?

Знания и умения прибавляются тогда, когда самостоятельно начинаешь решать задачи, делаешь гору ошибок и сам их исправляешь, а не переписываешь готоые решения.

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 11:55

я знаю, откуда берутся знания, самой стыдно, в школе была твердая 5 по математике, но не может же все храниться в голове вечно! Пыталась я решить эти ряды, но не получилось, вот попробую еще раз, может получится, а Вы вредничаете.

Автор: Dimka 17.4.2007, 12:12

Поведение модераторов в форуме не обсуждают

Автор: Bespamyatnaya 17.4.2007, 12:21

Извините, конечно, но не думаю, что Вас это задело чем- то. Тем более, я не знаю, кто тут модератор, а кто- нет.

Автор: Bespamyatnaya 25.4.2007, 8:14

У меня получается lim=1/3, но я чувствую, что это неправильно.
По радик. пр-ку Коши берется корень n-ной степени для выражения в степени n. Но так как у меня степень 2n-1, то я не совсем понимаю, что тогда делать.Если брать корень степени 2n-1, то получается ерунда и степень вообще не при делах, а если взять корень n-ной степени, то тут вообще беда:получилось (корень n степени от(3n-1))/((3-6/n+1/n^2)*(корень n степени от n)

Автор: venja 25.4.2007, 12:31

Попробую подробнее расписать ответ Dimka.
Надо далее учесть, что корень n-ой степени можно записать как дробную степень 1/n. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Преобразуем выражение для корня n-ой степени из общего члена ряда (работаем с радикальным признаком Коши):

[(n/(3n-1))^(2n-1)]^(1/n)=(n/(3n-1))^[(2n-1)*(1/n)]=

=(n/(3n-1))^(2-(1/n))=[1/(3-(1/n))]^(2-(1/n)) (в основании степени мы разделили числитель и знаменатель на n)
При n -> 00 основание степени стремится к 1/3, а показатель степени к 2
Поэтому предел =1/9 со всеми вытекающими.

Автор: Bespamyatnaya 25.4.2007, 17:46

Ой , спасибо, у меня получался такой ответ, но я даже не подумала, что этого хватит.

Автор: venja 26.4.2007, 3:37

Сначала можно определить радиус сходимости R этого степенного ряда по формуле:

R=lim |a(n)|/|a(n+1)| при n->00. В Вашем случае a(n)= n/((n^2)+1), для получения выражения для
a(n+1) в выражении для a(n) вместо n подставьте n+1 .
Думаю, будет R=1. Поэтому ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ есть интервал (-R, R). Область сходимости состоит из интервала сходимости и, возможно, граничных точек R и (-R). Принадлежность этих точек области сходимости проверяется отдельно подстановкой этих значений в исходный ряд вместо х и исследованием сходимости получающегося числового ряда.

Автор: Bespamyatnaya 26.4.2007, 6:14

А я решала по Даламберу, т. е. lim(n стрем. к беск-ти)=(Un+1)/Un=(X)*(n^3+n^2+n+1)/(n^3+2*n^2+2*n)=(x)(только выражения с X везде по модулю, мне его просто на клавиатуре не найти)
Дальше при (х)<1, т. е. -1<x<1 ряд сходится
при (х)>1, т.е. х>1, x<-1 ряд расходится
при x=1 lim=0, ряд сходится
при х=-1 получается знакочередующийся ряд сумма по n от 1 до бесконечности (n*(-1)^n)/((n^2)+1) и вот тут я вроде запуталась сходится ряд или нет? проверьте все решение , пожалуйста!

Автор: venja 26.4.2007, 6:45

Можно и по Даламберу - сделали Вы это правильно.
А дальше надо так:
При х=1 получается ряд С общим членом n*/((n^2)+1)
Этот ряд РАСХОДИТСЯ. Чтобы это доказать, можно воспользоваться признаком сравнения в предельной форме и сравнить этот ряд с расходящимся гармоническим рядом с общим членом 1/n.
Предел отношения общих членов этих рядов =1(легко), а потому первый ряд ведет себя так же, как и второй,т.е. расходится. Если Вы не проходили признак сравнения в ПРЕДЕЛЬНОЙ форме, то можно и в обычной форме, учтя, что
n*/((n^2)+1)=1/(n+(1/n))>1/(n+n)=(1/2)*(1/n), а ряд с последним общим членом расходится (половина гармонического ряда).
При х=-1 получается ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЙСЯ ряд (n*(-1)^n)/((n^2)+1)
Он сходится по ПРИЗНАКУ ЛЕЙБНИЦА для таких рядов, т.к. выполняются условия этого признака:
1)выражение n*/((n^2)+1)=1/(n+(1/n)) очевидно убывает с ростом n
2) предел этого выражения, очевидно, =0

Итак, область сходимости [-1, 1)

Автор: Bespamyatnaya 26.4.2007, 7:04

Спасибо , я все поняла, зря поторопилась!

Автор: neandetalec 21.6.2007, 20:36

помогите пожалуйста найти область сходимости ряда (х+2) в степени n

Автор: sonka 22.6.2007, 2:57

Воспользуйтесь радикальным признаком Коши. Интервал сходимости - (-3;-1), далее исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т.е. в точках -3 и -1.
http://reshebnik.ru/solutions/6/11

Автор: venja 22.6.2007, 3:32

Думаю, лучше сначала найти радиус сходимости по известной формуле (это просто, R=1), при подстановке в ряд концов интервала -3 и -1 получите числовой ряд, общий член которого не стремится к 0. Поэтому область сходимости (-3;-1).