решаю так

сначала логарифмирую, получаю (ln(1+sin^2 x))/tg^2 x
далее использую правило Лопиталя и получаю cos^4 x/(1+sin^2 x)
натолкните на мысль, что делать дальше?

почему тангенс стал в квадрате, в заголовке сообщения врооде без него.

После того как привели к такому виду ln(1+sin^2 x))/tg^2 x можно воспользоваться бесконечно малыми, а именно:
при х->0:
ln(1+x)~x
tgx~x
sinx~x

тангенс действительно в квадрате.
применив правило Лопиталя,получаю выражение lim x->0 (cos^4 x)/(1+sin^2 x) и тогда получается, что cos^4 x -> 1, sin^2 x ->0 , но при этом 1+sin^2 x -> 1
и в этом случае полученное выражение равняется единице. а само уравнение числу е.
Правильно ли рассуждаю?

Только не уравнение, а предел. Да, е получается.