2. 2xy'y''=(y')^2+1 подскажите каким способом начать решать?

2xy'y''=(y')^2+1
Делаем замену y' = f(x).
Получаем уравнение
2x * f * f' = f^2 + 1 => 2x * f * df/dx = f^2 + 1
f/(f^2 + 1) df = dx/(2x)
Осталось решить.

Сделайте замену y' = u(x)

Лучше (y')^2=u

Получается мы y'=z, 2xzz'=z^2+1, zdz/z^2+1 = dx/2x. И все дальше не знаю.

Дальше интегрировать правую и левую части уравнения, не забудьте про постоянную С и перейти к обратной замене, ведь z(x)=y'

Лучше так:
2z/(z^2 + 1) dz = dx/x
int 2z/(z^2 + 1) dz = int dx/x
int d(z^2)/(z^2 + 1) = ln |x| + C
ln (1 + z^2) = ln |x| + C
1 + z^2 = C * x.

Огромное всем спасибо!!!!!!!!