Помогите!!!
Есть такое предположение, что L - длина окружности с радиусом r

Ничем не обоснованное предположение. L - это какая-то константа. Для каждого возможного L требуется найти вероятность.
Картинку рисовать безумно лень, поэтому попробую на словах по рисунку выше. Обозначим через:
O - центр окружностей,
M - точку пересечения касательных,
N - точку касания малой окружности касательной AC,
K - точку касания малой окружности другой касательной, проходящей через точку B.
Центральный угол COB складывается из углов CON (= BOK) и NOB.
Поэтому CON + NOB = BOK+ NOB = NOK = 2*NOM. Угол же NOM - острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом ON = r и гипотенузой OM, поэтому cos(NOM) = r/OM.
Если мы обозначим через x расстояние от нашей точки M в кольце до малой окружности (0 <= x <= R-r), то OM = r+x, поэтому cos(NOM) = r/(r+x), искомый центральный угол COB = 2*arccos(r/(r+x)).
Центральный угол COB, на который опирается дуга CB, с длиной этой дуги связан понятно как - как CB = R*COB.
Чтобы длина дуги была больше L, нужно, чтобы x удовлетворяло неравенству R*2*arccos(r/(r+x)) > L. Вероятность этого события и нужно найти. При этом про x известно, что P(x < c) = P(точки, выбранной в кольце наугад, попасть в колечко с радиусом от r до r+c) = площадь колечка с радиусом от r до r+c, делить на площадь всего кольца между окружностями = ((r+с)^2 - r^2) / (R^2 - r^2). Осталось вероятность P(R*2*arccos(r/(r+x)) > L), разрешив неравенство относительно x, выразить через вероятность P(x < c).

Видно, что крайнее возможное значение L, которого дуга превысить не сможет, равно R*2*arccos(r/R).

Надеюсь, что нигде не ошибаюсь с геометрией (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Огромное спасибо за решение.

Это пока не полное решение. Напишете сюда потом, какая у Вас получилась вероятность в итоге? Если не лень, конечно. Чтобы уже довести решение до конца.