Версия для печати темы

Автор: Stels 8.11.2008, 19:35

Есть 2 концентрических окружности с радиусами r и R (r < R). В области между ними наугад поставили точку А, через которую проведены касательные к меньшей окружности. Найти вероятность того, что длина дуги большей окружности между большей частью одной касательной и меньшей частью второй касательной не меньше L

Проблема возникла с условием. Помогите, пожалуйста, его растолковать. Ну и , по возможности, направить в сторону правильного решения.

Автор: tig81 8.11.2008, 19:44

http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=2837
Или представьте кольцо.

СДелайте рисунок, отметьте т. А и проведите каательные

Автор: Stels 8.11.2008, 19:47

Спасибо за реагирование, но с этой частью вроде как всё ясно,
Не ясно вот это :
Найти вероятность того, что длина дуги большей окружности между большей частью одной касательной и меньшей частью второй касательной не меньше L

Автор: tig81 8.11.2008, 19:55

Вам надо найти вероятность, что длина дуги ВС не меньше L. Что такое L?
http://www.radikal.ru

Автор: Stels 8.11.2008, 20:12

L - это какая-то константа.

Автор: Stels 9.11.2008, 9:23

С условием вроде разобрался
Теперь не понятно, как ее решить. Посоветовали почитать про парадокс Бертрана но вроде бы его подтверждения в своей задаче не нашел.
Думаю, нужно выразить длину дуги через СА и ВА ,радиусы или какие0то извесные величины. Но не получается.
help!

Автор: Stels 9.11.2008, 18:26

Помогите!!!
Есть такое предположение, что L - длина окружности с радиусом r

Автор: malkolm 9.11.2008, 22:35

Ничем не обоснованное предположение. L - это какая-то константа. Для каждого возможного L требуется найти вероятность.
Картинку рисовать безумно лень, поэтому попробую на словах по рисунку выше. Обозначим через:
O - центр окружностей,
M - точку пересечения касательных,
N - точку касания малой окружности касательной AC,
K - точку касания малой окружности другой касательной, проходящей через точку B.
Центральный угол COB складывается из углов CON (= BOK) и NOB.
Поэтому CON + NOB = BOK+ NOB = NOK = 2*NOM. Угол же NOM - острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом ON = r и гипотенузой OM, поэтому cos(NOM) = r/OM.
Если мы обозначим через x расстояние от нашей точки M в кольце до малой окружности (0 <= x <= R-r), то OM = r+x, поэтому cos(NOM) = r/(r+x), искомый центральный угол COB = 2*arccos(r/(r+x)).
Центральный угол COB, на который опирается дуга CB, с длиной этой дуги связан понятно как - как CB = R*COB.
Чтобы длина дуги была больше L, нужно, чтобы x удовлетворяло неравенству R*2*arccos(r/(r+x)) > L. Вероятность этого события и нужно найти. При этом про x известно, что P(x < c) = P(точки, выбранной в кольце наугад, попасть в колечко с радиусом от r до r+c) = площадь колечка с радиусом от r до r+c, делить на площадь всего кольца между окружностями = ((r+с)^2 - r^2) / (R^2 - r^2). Осталось вероятность P(R*2*arccos(r/(r+x)) > L), разрешив неравенство относительно x, выразить через вероятность P(x < c).

Видно, что крайнее возможное значение L, которого дуга превысить не сможет, равно R*2*arccos(r/R).

Надеюсь, что нигде не ошибаюсь с геометрией

Автор: Stels 10.11.2008, 7:17

Огромное спасибо за решение.

Автор: malkolm 10.11.2008, 12:18

Это пока не полное решение. Напишете сюда потом, какая у Вас получилась вероятность в итоге? Если не лень, конечно. Чтобы уже довести решение до конца.