Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующие задания:
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1)T b1= (2, 3, -1)T
a2 = (1, 1, -1)T b2 = (1, 2, 2T
a3 = (1, 3, 3)T b3 = (1, 1, - 3)T


2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T

a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T

хм...
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=7381&hl=
http://eqworld.ipmnet.ru/forum/viewtopic.php?f=10&p=75

правила форума

пример

Простите, я просто не понимаю геометрию и алгебру, если бы кто-нибудь хотя бы намекнул, как делать. Или дал алгоритм, я читала учебники, но как применить то, что там написано не знаю

вы по ссылке на пример ходили?

да, я его уже скачала, пытаюсь разобраться.
Мне нужно найти базис a и b? т.е. составить систему как в примере? а если у меня транспонир. то строки меняются на столбцы? А потом, что останется от a и b записать вместе- базис суммы, а количество векторов будет размерностью суммы ? Подскажите, пожалуйста

Вам надо найти базис L1 и L2. Т.е., например, для L1, вам нужно выяснить, какие из векторов а1, а2, а3 являются линейно независимыми. Для этого нужно записать матрицу, состоящую из координат данных векторов (как вы будете записывать координаты, по столбцу или строке, значения не имеет, т.к. строчный ранг матрицы равен ее столбцовому) и найти ее ранг. Строки матрицы назвать соответственно вектору, из координат которого она состоит (это нужно для составления базиса). Ранг равен размерности простарнства.

Аналогично находите базис подпространства L2.

Для нахождения базиса суммы подпространств L1+L2 составляете матрицу по строкам которой записаны координаты базисных векторов каждого подпространства. Находите ее ранг.

У меня получился базис L1 (a1,a2) ранг 2
базис L2 (b2,b3) ранг 2
базис L1+L2 (a1,b2,b3) ранг 3
Правильно?
Простите, вы не подскажите мне с пересечением?

сейчас посчитаю.

Теперь посмотрите формулу Грассмана

Я не нашла формулу Грассмана, и в интернете тоже

так

так

у меня базис другой получился

здесь есть формула Грассмана:
(8.2) dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ).

Я пересчитала у меня базис теперь (a1, a2,b2) А это принципиально или можно любой написать?
dim(L1 ∩ L2 ) = 1
а базис можно так же? тогда получится (если базис теперь (a1, a2,b2)) базис (b3).

Спасибо вам огромное, что вы мне помогаете.

ну вроде так, хотя можно составить и еще один базис (a1, a2,b3). Что знаит любой?

так. Смотрите по примеру, как находили базисный вектор пересечения подпространств. (стр. 58-59)

у меня почему -то все нули получаются.

не должно так быть. Трудно сказать почему, будет, наверное, проще, если выложите свое решение.

"Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований" - это я так понимаю та же матрица, что мы составляли для нахождения базиса суммы. У меня эта матрица после упрощений приняла вид:
0 0 -1
1 1 -1
0 1 3
0 0 0
И составляя систему уравнений получаю, что все нули

Практически эта матрица. Конечно, лучше было бы если бы вы ее получили самостоятельно, для этого разложили искомый вектор по базисным векторам каждого из подпространств. В итоге у вас должна получиться матрица
1 1 -1 -1
2 1 -2 -1
1 -1 -2 3
По столбцам записаны координаты базисных векторов а1, а2, -b2, -b3. Работайте с этой матрицей.

Я преобразовала матрицу, записала систему уравнений и у меня получился базис с=a1+a2=1/2b2 +1/2 b3

сделаем проверку:
с=a1+a2=(1,2,1)+(1,1,-1)=(2,3,0)
с=b2/2 +b3/2=(1/2)*[(1,2,2)+(1,1,-3)]=(1/2)*(2,3,-1)=(1,3/2,-1/2)
А должны получиться одни и теже координаты. Значит где-то ошибка.

Получилось с= 2a1+a2=2b2+b3. Проверила, получились одни и те же координаты.

Честно говоря, проверять не хочется, будем надеяться, что правильно. (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)