Версия для печати темы

Автор: user 16.10.2008, 10:20

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующие задания:
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1)T b1= (2, 3, -1)T
a2 = (1, 1, -1)T b2 = (1, 2, 2T
a3 = (1, 3, 3)T b3 = (1, 1, - 3)T


2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T

a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T

Автор: tig81 16.10.2008, 10:36

хм...
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=7381&hl=
http://eqworld.ipmnet.ru/forum/viewtopic.php?f=10&p=75

http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules

http://matclub.ru/doc/prostran.doc

Автор: user 16.10.2008, 11:02

Простите, я просто не понимаю геометрию и алгебру, если бы кто-нибудь хотя бы намекнул, как делать. Или дал алгоритм, я читала учебники, но как применить то, что там написано не знаю

Автор: tig81 16.10.2008, 11:05

вы по ссылке на пример ходили?

Автор: user 16.10.2008, 11:14

да, я его уже скачала, пытаюсь разобраться.
Мне нужно найти базис a и b? т.е. составить систему как в примере? а если у меня транспонир. то строки меняются на столбцы? А потом, что останется от a и b записать вместе- базис суммы, а количество векторов будет размерностью суммы ? Подскажите, пожалуйста

Автор: tig81 16.10.2008, 11:23

Вам надо найти базис L1 и L2. Т.е., например, для L1, вам нужно выяснить, какие из векторов а1, а2, а3 являются линейно независимыми. Для этого нужно записать матрицу, состоящую из координат данных векторов (как вы будете записывать координаты, по столбцу или строке, значения не имеет, т.к. строчный ранг матрицы равен ее столбцовому) и найти ее ранг. Строки матрицы назвать соответственно вектору, из координат которого она состоит (это нужно для составления базиса). Ранг равен размерности простарнства.

Аналогично находите базис подпространства L2.

Для нахождения базиса суммы подпространств L1+L2 составляете матрицу по строкам которой записаны координаты базисных векторов каждого подпространства. Находите ее ранг.

Автор: user 16.10.2008, 11:42

У меня получился базис L1 (a1,a2) ранг 2
базис L2 (b2,b3) ранг 2
базис L1+L2 (a1,b2,b3) ранг 3
Правильно?
Простите, вы не подскажите мне с пересечением?

Автор: tig81 16.10.2008, 11:46

сейчас посчитаю.

Теперь посмотрите формулу Грассмана

Автор: user 16.10.2008, 11:57

Я не нашла формулу Грассмана, и в интернете тоже

Автор: tig81 16.10.2008, 12:14

так

так

у меня базис другой получился

http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=26564&p_page=10:
(8.2) dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ).

Автор: user 16.10.2008, 12:29

Я пересчитала у меня базис теперь (a1, a2,b2) А это принципиально или можно любой написать?
dim(L1 ∩ L2 ) = 1
а базис можно так же? тогда получится (если базис теперь (a1, a2,b2)) базис (b3).

Спасибо вам огромное, что вы мне помогаете.

Автор: tig81 16.10.2008, 12:40

ну вроде так, хотя можно составить и еще один базис (a1, a2,b3). Что знаит любой?

так. Смотрите по примеру, как находили базисный вектор пересечения подпространств. (стр. 58-59)

Автор: user 16.10.2008, 13:16

у меня почему -то все нули получаются.

Автор: tig81 16.10.2008, 13:26

не должно так быть. Трудно сказать почему, будет, наверное, проще, если выложите свое решение.

Автор: user 16.10.2008, 13:38

"Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований" - это я так понимаю та же матрица, что мы составляли для нахождения базиса суммы. У меня эта матрица после упрощений приняла вид:
0 0 -1
1 1 -1
0 1 3
0 0 0
И составляя систему уравнений получаю, что все нули

Автор: tig81 16.10.2008, 13:46

Практически эта матрица. Конечно, лучше было бы если бы вы ее получили самостоятельно, для этого разложили искомый вектор по базисным векторам каждого из подпространств. В итоге у вас должна получиться матрица
1 1 -1 -1
2 1 -2 -1
1 -1 -2 3
По столбцам записаны координаты базисных векторов а1, а2, -b2, -b3. Работайте с этой матрицей.

Автор: user 16.10.2008, 14:02

Я преобразовала матрицу, записала систему уравнений и у меня получился базис с=a1+a2=1/2b2 +1/2 b3

Автор: tig81 16.10.2008, 14:13

сделаем проверку:
с=a1+a2=(1,2,1)+(1,1,-1)=(2,3,0)
с=b2/2 +b3/2=(1/2)*[(1,2,2)+(1,1,-3)]=(1/2)*(2,3,-1)=(1,3/2,-1/2)
А должны получиться одни и теже координаты. Значит где-то ошибка.

Автор: user 16.10.2008, 14:23

Получилось с= 2a1+a2=2b2+b3. Проверила, получились одни и те же координаты.

Автор: tig81 16.10.2008, 14:27

Честно говоря, проверять не хочется, будем надеяться, что правильно.

Автор: user 16.10.2008, 14:29

Спасибо вам огромное!!!

Автор: tig81 16.10.2008, 14:34

Пожалуйста.
П.С. Что касается второго задания, посмотрите http://matclub.ru/doc/prostran.doc (стр.72). И посмотрите еще информацию по этой теме.

Автор: user 16.10.2008, 14:55

А можно, если я не пойму, у вас спросить?

Автор: tig81 16.10.2008, 15:10

Автор: user 16.10.2008, 15:57

У меня во второй задаче получился ранг системы равен 2, базис (a1,a2), а дальше я в затруднении. Не понимаю, как найти элементы матрицы Грама. Если вам не трудно, подскажите, пожалуйста.

Автор: tig81 16.10.2008, 16:15

например, элемент е11 матрицы Грама равен:
е11=(а1,а1), т.е. скалярному произведению вектора а1 на вектор а1.
Аналогично находите е12, е21 и е22.

Автор: user 16.10.2008, 16:32

Спасибо.
У меня получилось e11=4, e12=e21=3, e22=7
Элементы столбца свободных членов b1=14, b=1
...
y1=5 y2=-2
А дальше вы мне не подскажите?

Автор: tig81 16.10.2008, 17:05

искомый вектор у=у1*а1+у2*а2=...

Автор: user 16.10.2008, 17:09

y=(1,7,3,3) Но ведь в задании было разложить вектор x на сумму 2 векторов, а у нас тока один

Автор: tig81 16.10.2008, 17:28

смотрим теперь третье определение на странице 72:
х=y+z => z=x-y.
Для проверки: вектор z должен быть ортогональным вектору у (т.е. их скалярное произведение должно равняться нулю).

Автор: user 16.10.2008, 17:32

И еще я здесь между делом решила 4 задачу :
Линейный оператор φ переводит векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Найти матрицу оператора φ в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:
a1 = (1, 2, -3) T a2 = (0, 1, 2) T a3 = (1, 0, 4) T
b1= (1, 1, 1) T b2 = (1, 2, 1) T b3 = (0, 1, 1) T

Вы не посмотрите?
Вот решение:
как на странице 53
составила уравнения, нашла коэффициенты, в итоге матрица

5 7 1
1 8 9 умножить на 1/11
6 4 1

Автор: user 16.10.2008, 17:51

Все посчитала, скалярное произведение равно 0.
Спасибо большое!!!!!!!!

Автор: tig81 16.10.2008, 18:05

Вроде все верно, только элемент а[3,3] у меня получился -1.

Автор: user 16.10.2008, 18:12

и у меня

Я так рада, целых три задачи решили!!!!!!!!! Спасибо вам, спасибо
А вот третью и пятую я в методичке не нашла. Вы не подскажите?

Автор: tig81 16.10.2008, 18:19

В условии речь шла только о двух. Какое условие у 3 и 5 задачи? Т.к. в первом сообщении были только задачи под номерами 1 и 2.

Автор: user 16.10.2008, 18:31

3) Если линейный оператор φ , действующий в пространстве L n , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … en, соответствующих собственным числам λ1, λ2, …..λn, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.
Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1

Автор: tig81 16.10.2008, 18:50

Находите собсвенные значения и собственные векторы данной матрицы.
Далее записуете матрицу В, по столбцам котрой записаны координаты собственных векторов.
Искомый диагональный вид: А'=B^(-1)*A*B.
Проверка: должна получиться диаональная матрица, на главной диагонали которой будут стоять собственные значения.

Автор: user 17.10.2008, 9:53

Не знаю как посчитать определитель матрицы 4x4. Нашла даже примерчик, но не понимаю, как они сделали http://www.mathelp.spb.ru/book1/sistem.htm

Вы мне не подскажите?

Автор: Тролль 17.10.2008, 10:10

А какой у Вас определитель?

Автор: user 17.10.2008, 11:06

матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1
Получается, что надо найти определитель:
-λ 1 0 0
0 -λ 1 0
0 0 -λ 1
-6 1 7 -1-λ

Автор: Тролль 17.10.2008, 14:24

Раскладываем по первому столбцу: каждый элемент первого столбца поочередно со знаками + и - домножаем на определитель матрицы, которая получится из данной вычеркиванием первого столбца и той строки, где этот элемент находится.
В данном случае получим:
_________-lambda__1__0_______________1___0_____0
-lambda *__0_-lambda___1________+ 6 *_-lambda__1___0
_________ 1__7__-1-lambda___________0__-lambda__1

Получаем два определителя матриц размера 3 на 3. Они высчитываются аналогично разложением по первому столбцу.
Ещё надо учесть, что определитель матрицы
a b
c d равен a * d - b * c.

Автор: user 17.10.2008, 18:11

Спасибо большое!!!!!
Вы мне очень помогли=)

Автор: borona 26.2.2009, 21:21

Как здесь определялись элементы столбца свободных членов, подскажите, пожалуйста

Автор: tig81 26.2.2009, 21:47

b1=(x,a1), b2=(x,a2), ...

Автор: borona 27.2.2009, 11:46

спасибо большое

Автор: tig81 28.2.2009, 9:56

Пожалуйста!!!