Здравствуйте. Решил задачу на тему Ряды. Не уверен в правильности. Если кто может, проверьте пожалуста правильность решения задачи.
Задача: Найти три первых члена степенного ряда по заданному общему члену AnX^n. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его на концах этого интервала:
_
\ 3^n*x^n/n^(1/2)
/_
n=1
Ответ - интервал сходимости (-1/3, 1/3).

При n=1 получаем а1х= 3х
n=2 = (9х^2)/2^(1/2)
n=3 = (27*x)^3/3^(1/2)
Найдём радиус сходимости ряда по формуле R= lim |An/An+1|
R=……..=1/3
Исследуем поведение ряда при х=1/3, для этого в степенной ряд вместо х подставим число 1/3. Получим числовой ряд 1/(n^1/2).
Для того чтобы исследовать его сравним с гармоническим 1/n. Известно, что гармонический ряд сходится. Так как 1/(n^1/2) больше либо равно 1/n при всех n, то из признака сравнения следует, что ряд 1/(n^1/2) также сходится.
Исследуем поведение ряда при х=-1/3, для этого в степенной ряд вместо х подставим число -1/3.
Получим числовой знакочередующийся ряд (-1)^n*1/(n^1/2).
Применим к нему признак Лейбница. Так как члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают 1/(n^1/2) больше 1/(n+1)^1/2 и lim 1/n^1/2 = 0, то данный ряд сходится.
Итак, степенной ряд сходится при х(-1/3, 1/3).
Вроде всё.

наверное так: n=3 ...= 27x^3/3^(1/2)

насколько мне известно, гармонический ряд расходится. Т.е. ...

Т.е. еще раз смотрим на каком из концов ряд сходится, расходится, и тогда одну из скобок "(" или ")" заменяем на "[" или "]".