Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Правильно ли нашёл сходимость ряда???
Автор: Spartak 12.4.2008, 19:01
Здравствуйте. Решил задачу на тему Ряды. Не уверен в правильности. Если кто может, проверьте пожалуста правильность решения задачи.
Задача: Найти три первых члена степенного ряда по заданному общему члену AnX^n. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его на концах этого интервала:
_
\ 3^n*x^n/n^(1/2)
/_
n=1
Ответ - интервал сходимости (-1/3, 1/3).
Автор: tig81 12.4.2008, 19:09
Здравствуйте. Решил задачу на тему Ряды. Не уверен в правильности. Если кто может, проверьте пожалуста правильность решения задачи.
Задача: Найти три первых члена степенного ряда по заданному общему члену AnX^n. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его на концах этого интервала:
_
\ 3^n*x^n/n^(1/2)
/_
n=1
Ответ - интервал сходимости (-1/3, 1/3).
Будет проще проверить, если вы напишите, как делали (или хотя бы краткое решение).
Автор: venja 13.4.2008, 4:39
Интервал сходимости найден верно. На одном из концов сходится, на другом нет.
Автор: Spartak 13.4.2008, 18:00
При n=1 получаем а1х= 3х
n=2 = (9х^2)/2^(1/2)
n=3 = (27*x)^3/3^(1/2)
Найдём радиус сходимости ряда по формуле R= lim |An/An+1|
R=……..=1/3
Исследуем поведение ряда при х=1/3, для этого в степенной ряд вместо х подставим число 1/3. Получим числовой ряд 1/(n^1/2).
Для того чтобы исследовать его сравним с гармоническим 1/n. Известно, что гармонический ряд сходится. Так как 1/(n^1/2) больше либо равно 1/n при всех n, то из признака сравнения следует, что ряд 1/(n^1/2) также сходится.
Исследуем поведение ряда при х=-1/3, для этого в степенной ряд вместо х подставим число -1/3.
Получим числовой знакочередующийся ряд (-1)^n*1/(n^1/2).
Применим к нему признак Лейбница. Так как члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают 1/(n^1/2) больше 1/(n+1)^1/2 и lim 1/n^1/2 = 0, то данный ряд сходится.
Итак, степенной ряд сходится при х(-1/3, 1/3).
Вроде всё.
Автор: tig81 13.4.2008, 18:10
n=3 = (27*x)^3/3^(1/2)
наверное так: n=3 ...= 27x^3/3^(1/2)
Для того чтобы исследовать его сравним с гармоническим 1/n. Известно, что гармонический ряд сходится. Так как 1/(n^1/2) больше либо равно 1/n при всех n, то из признака сравнения следует, что ряд 1/(n^1/2) также сходится.
насколько мне известно, гармонический ряд расходится. Т.е. ...
Итак, степенной ряд сходится при хє(-1/3, 1/3).
Вроде всё.
Т.е. еще раз смотрим на каком из концов ряд сходится, расходится, и тогда одну из скобок "(" или ")" заменяем на "[" или "]".
Автор: Spartak 13.4.2008, 18:43
Да, немного ошибся. Спасибо tig81.
Мне ешё нужно решить 3 задачи. Ничего, если по ходу решения я буду выкладывать сюда задачи для проверки.
Автор: tig81 13.4.2008, 18:54
Да, немного ошибся. Спасибо tig81.
да не за что!
Для проверки конечно можно, но создавайте темы в соответствующих разделах.
Автор: Spartak 13.4.2008, 19:12
Ну это понятно. Одна задача на тему - Ряды.
2 оставшиеся - дифференциальное уравнение.
Как только решу - выложу.
Спасибо еше раз. До связи.
Автор: Cherry 11.5.2008, 18:56
Решаю ряд и какое-то ощущение, что что-то делаю неправильно.
Ряд такой: РЯД от 1 до беск. (1+1/n) x^n/sqrt n (х в степени n, х поделен на корень из n)
Нашла радиус сходимости: он у меня оказался равен 1/2, это если (1+1/n) привести к виду (n+1/n), а если оставлять в виде (1+1/n), то получается радиус сходимости 1. Какой из вариантов правильный?
Автор: tig81 11.5.2008, 19:02
Решаю ряд и какое-то ощущение, что что-то делаю неправильно.
что значит: решаю ряд?
Нашла радиус сходимости: он у меня оказался равен 1/2, это если (1+1/n) привести к виду (n+1/n),
а как вы к такому виду привели?
такой ответ правильный
Автор: Cherry 11.5.2008, 19:16
я 1 представила как n/n и получилось n+1/n, в данном случае так делать нельзя?
Решаю ряд - имелось в виду нахожу область сходимости степенного ряда.
Сейчас буду пробовать дорешать и выложу сфотографированный вариант, если только смогу его сжать до 400 байт.
Автор: tig81 11.5.2008, 19:28
я 1 представила как n/n и получилось n+1/n, в данном случае так делать нельзя?
1+1/n=n/n+1/n=n+1/n???????
А где в первом слагаемом n в знаменателе делось? т.е. 2/2=2?
Автор: Cherry 11.5.2008, 20:22
сорри.. неправильно написала.. сделала правильно.. (n+1)/n, общий знаменатель n, а в числителе n+1
Автор: tig81 11.5.2008, 20:40
сорри.. неправильно написала.. сделала правильно.. (n+1)/n, общий знаменатель n, а в числителе n+1
теперь понятно
Нашла радиус сходимости: он у меня оказался равен 1/2, это если (1+1/n) привести к виду (n+1/n), а если оставлять в виде (1+1/n), то получается радиус сходимости 1. Какой из вариантов правильный?
напишите, как считали пределы.
Автор: Cherry 11.5.2008, 22:43
Вот выкладываю мое решение полностью. В задании надо было найти область сходимости ряда. Если есть ошибки - укажите, пожалуйста.
Эскизы прикрепленных изображений
Автор: tig81 12.5.2008, 6:28
Вот выкладываю мое решение полностью. В задании надо было найти область сходимости ряда. Если есть ошибки - укажите, пожалуйста.
1. Не понятно как нашли С[n+1]? Если C[n]=(1+1/n)/sqrt(n)=(n+1)/(n*sqrt(n)) (откуда 1^n берется), то C[n+1]=(n+1+1)/{(n+1)*sqrt(n+1)}=(n+2)/{(n+1)*sqrt(n+1)}. Т.е. единица прибавляется не ко всему корню, а только к подкоренному віражению.
2. Непонятно, как считали предел?
R=lim(n->00)C[n]/С[n+1]=lim(n->00){(n+1)*(n+1)*sqrt(n+1)/(n*sqrt(n)*(n+2))}.
Не совсем понятно, как вы там сокращали!?
3. б) для теоремы Лейбнца необходимо, чтобы члены ряда убывали по абсолютной величине - это проверяли?
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)