задана квадратичная матрица A:
2 3 1
3 10 3
1 3 2

ее собственные значения: k1=1, k2=12, k3=1

k=k1 тогда A-k1E=

1 3 1
3 9 3
1 3 1

r(A-k1E)=1

x1=-3*X2-X3

получаем
x1=-3, x2=1, x3=0
x1=-1, x2=0, x3=1


как из них получить собственный вектор для k1?

Собственно этот вопрос не связан с предыдущим, но
хочу спросить в какую сторону копать

даны 2 матрицы размерностью 3x3 они не симметричные.
нужно выяснить какие из лин. операторов представленных этими матрицами можно диагонализировать
переходом к новому базису?

матрицу линейного оператора можно диаганолизировать,если существут базис, состоящий из его собственных векторов. Новый базис - базис из собственных векторов, диагональный вид - по главной диагонали стоят собственные значения. Если я ничего не путаю правда.



Если я правильно помню, матрицей перехода от старого базиса к новому, называется матрица по столбцам которой записаны координаты нового базиса в старом?!

а каким методом?Методом Лагранжа не пробовали (метод выделения полного квадрата)?

Да вы правы конечно, мне почему-то казалось что базис должен быть ортогональным,
для этого оператор должен быть ССО, а базис вообще собственно говоря не обязан быть ортогональным, вообщем пора на прогулку (IMG:style_emoticons/default/megalol.gif)


найденые собственные вектора образуют базис (e1`, e2`,e3`),
e1`=(-3,1,0) - это координаты нового базиса в старом, или я опять запутался..



эмм, как бы метод Лагранжа мы еще не изучали (IMG:style_emoticons/default/huh.gif) ,
по материалам лекций только квадратичные формы и их геометрическое приложение,
вот я их и прикладывал.. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Наверное надо предполагать, что изначально все задано в каноническом базисе е1=(1,0,0), е2=(0,1,0), е3=(0,0,1). Тогда e1`=(-3,1,0) - это координаты нового базиса в старом.
по-моему проблема, что не получается диагональный вид состоит в том, что неправильно записана формула,связывающая матрицы оператора в разных базисах. Она, вроде как, вместо A`=UT*A*U имеет вид:
A`=U^(-1)*A*U.
то есть, если базис состоит из собственных векторов, то матрица приводится к диагональному виду
k1 0 0
0 k2 0
0 0 k3
Попробуйте воспользоваться данной ф-лой.