Версия для печати темы

Автор: s-r 18.12.2007, 9:33

задана квадратичная матрица A:
2 3 1
3 10 3
1 3 2

ее собственные значения: k1=1, k2=12, k3=1

k=k1 тогда A-k1E=

1 3 1
3 9 3
1 3 1

r(A-k1E)=1

x1=-3*X2-X3

получаем
x1=-3, x2=1, x3=0
x1=-1, x2=0, x3=1


как из них получить собственный вектор для k1?

Автор: tig81 18.12.2007, 9:47

Приведенные хi и есть собственными векторами, то есть а1=(-3, 1, 0), аналогично а2=... собственное значение к1 имеет два собственных вектора!

Автор: s-r 18.12.2007, 9:56

хм, если сотавить матрицу перехода U:

-3 -1 1
1 0 3
0 1 1

и выполнить преобразование
A`=UT*A*U получится

10 3 0
3 2 0
0 0 132

а должна быть диагональной...


общая задача состоит в приведении к каноническому виду уравнения

2X1^2+10X2^2+2X3^2+6X1*X2+2X1*X3+6X2*X3=0

Автор: tig81 18.12.2007, 12:50

матрицу линейного оператора можно диаганолизировать,если существут базис, состоящий из его собственных векторов. Новый базис - базис из собственных векторов, диагональный вид - по главной диагонали стоят собственные значения. Если я ничего не путаю правда.



Если я правильно помню, матрицей перехода от старого базиса к новому, называется матрица по столбцам которой записаны координаты нового базиса в старом?!

а каким методом?Методом Лагранжа не пробовали (метод выделения полного квадрата)?

Автор: s-r 18.12.2007, 12:53

Да вы правы конечно, мне почему-то казалось что базис должен быть ортогональным,
для этого оператор должен быть ССО, а базис вообще собственно говоря не обязан быть ортогональным, вообщем пора на прогулку


найденые собственные вектора образуют базис (e1`, e2`,e3`),
e1`=(-3,1,0) - это координаты нового базиса в старом, или я опять запутался..



эмм, как бы метод Лагранжа мы еще не изучали ,
по материалам лекций только квадратичные формы и их геометрическое приложение,
вот я их и прикладывал..

Автор: tig81 18.12.2007, 15:26

Наверное надо предполагать, что изначально все задано в каноническом базисе е1=(1,0,0), е2=(0,1,0), е3=(0,0,1). Тогда e1`=(-3,1,0) - это координаты нового базиса в старом.
по-моему проблема, что не получается диагональный вид состоит в том, что неправильно записана формула,связывающая матрицы оператора в разных базисах. Она, вроде как, вместо A`=UT*A*U имеет вид:
A`=U^(-1)*A*U.
то есть, если базис состоит из собственных векторов, то матрица приводится к диагональному виду
k1 0 0
0 k2 0
0 0 k3
Попробуйте воспользоваться данной ф-лой.

Автор: s-r 18.12.2007, 16:17

на счет формулы, взял я ее из лекции и она действительно верна для ортонормированных векторов.

Уравнение можно записать так:

XT*A*X+B*X+c=0

затем

XT*U*UT*A*U*UT*X+B*U*UT*X+c=0

X`=UT*X
A`=UT*A*U=
k1 0
0 k2

B`=B*U

где U*UT=E для ортонормированых векторов

сомнния возникают на счет e`1=(3,1,0) и e`2=(-1,0,1)
они должны быть получены из разных собственных значений, тогда они будут ортогональны, а в данном случае они из одного значени получены
может в этом причина, брать за базовый вектор e'3 ортогонализировать ..?

Автор: s-r 18.12.2007, 17:11

все удалось вроде решить, нужно было привести те два вектора к ортогональному виду, тогда все
сходится, после издевательства над исходным уравнением получаем:

12x^2+y^2+z^2=0 - какую-то поверхность?

Автор: s-r 18.12.2007, 21:08

Благодарю за оказанную поддержку и помощь

Автор: tig81 18.12.2007, 21:12

всегда пожалуйста