Не могу решить задание(не помню алгоритма его решения).
Найти базисное решение СЛАУ(одна из свободных переменных - x1)
x1+x2-x3-x4-x5=0
2x1-x2-x3+2x4+x5=-1
2x2+x3-3x5=5
-x1+4x2+x3-3x4-5x5=6
Заранее спасибо!

Чтобы найти базис, нужно решать однородную с.л.у, т.е. в столбце свободных переменных дожны быть нули.
r=3, n=5, х1, х2,х3 - базисные переменные, сама система линейно зависима

Общее решение:
х1 = ах4+bх5
х2 = сх4+dx5
x3 = nx4+mx5, где a,b,c,d - числа

Частное решение:
Пусть х4=1, х5=0, тогда
х1=a
x2=c
x3=n,
назовем этот упорядоченный набор чисел вектором e1, но поскольку у нас 2 базисных вектора, то введем еще и e2 при х4=0, х5=1

Запишем фундаментальную систему решений:
e1=(a,c,n,1,0)
e2=(b,d,m,0,1)
Это и будет решением задачи,т.к. ф.с.р и есть какой-нибудь базис в пространстве решений системы.

Перечитала еще раз свои записи, наверное, я вчера сильно хотела спать, поэтому исправляюсь:


Ранг матрицы r=3, количество переменных n=5, т.е. у нас три зависимые (те, которые мы будем выражать) и n-r=5-3=2 - базисных (или свободных) переменных (через которые будем выражать).
В качестве свободных выбираем х1 (требуется по условию) и, например, х5.
Тогда
х1=с1
х5=с2
х4=(1,4-х1+0,4х5)/1,4=(1,4-с1+0,4с2)/1,4
х2=1,2+0,8х4+1,2х5=1,2+0,8*(1,4-с1+0,4с2)/1,4+1,2с2=...
х3=2,6-1,6х4+0,6х5=...

Для полученной системы, если бы ничего не было оговорино в задании, лучше в качестве свободных было бы выбрать х4 и х5.

А в задании сказано найти базисное решение или общее решение СЛАУ?


cpg, понятие ФСР определено только для однородной СЛАУ (как вы и заметили), а исходная система неоднородная.