Случайно обнаружил любопытное свойство натуральных чисел. Проверил математические энциклопедии, но нигде не встретил упоминание об этом свойстве натуральных чисел. Многие считают, что число 0 входит в натуральные числа. Другие считают, что число 0 не является натуральным числом. Так вот, обнаруженное свойство натуральных чисел выполняется только для натурального ряда чисел, в который число 0 не входит, и не выполняется для натурального ряда чисел, в который включено число 0.
Рассмотрим операции сложения и вычитания на отрезке ряда натуральных чисел 1, 2, ..., N. Пусть X и Y - натуральные числа от 1 до N.
Обозначим через Z - результат сложения натуральных чисел X и Y. Потребуем от натурального числа Z выполнения неравенства 0 < Z < N + 1, то есть Z должно быть натуральным числом от 1 до N.
Z = X + Y
Если Z < N + 1, то наше требование выполнено. Минимальная величина суммы в этом случае равна 2, а максимальная величина суммы равна N. Таким образом, число Z в этом случае изменяется от 2 до N.
Если Z > N, то наше требование не выполнено. В этом случае вычтем из суммы число N. Получим Z = X + Y - N. Поскольку максимальная величина суммы X + Y равна 2*N, то Z = X + Y - N не превосходит N. Поскольку вычитание числа N из суммы X + Y мы производим только в том случае если эта сумма больше N (равна N + 1, N + 2, ..., 2 * N), то минимальная величина Z = X + Y - N = N + 1 - N = 1. Таким образом, число Z изменяется от 1 до N.
Рассмотрим нахождения чисел X или Y из числа Z.
Здесь возможны два варианта:
1) X = Z - Y = X + Y - Y = X, это обычное вычитание.
2) X = Z - Y = X + Y - N - Y = X - N. Поскольку максимальная величина числа X равна N, то X - N < 1. Следовательно, для получения правильного результата мы должны прибавить к разнице число N. В этом случае X = Z - Y = X + Y - N - Y + N = X.
В действительности нам не нужно знать о том, вычитали мы из суммы Z число N или не вычитали. Достаточно проверять результат вычитания Z - Y на выполнение условия Z - Y < 1. Если неравенство выполняется, то необходимо прибавить число N. Если неравенство не выполняется, то ничего делать не надо.
Аналогично обстоит дело с вычитанием натуральных чисел.
В целом, число ноль не нужно для операций вычитания и сложения с числами отрезка натурального ряда от 1 до N. Достаточно проверять результат операции на условие 0 < Z < N + 1. Если результат операции меньше единицы, то к результату операции необходимо прибавить число N. Если результат операции больше N, то из результата операции необходимо вычесть число N.
Это свойство выполняется только для отрезка ряда натуральных чисел от 1 до N и не выполняется для отрезка ряда чисел от 0 до N, а также для любого отрезка ряда натуральных чисел, начинающегося с числа большего 1.
Прошу математиков и других специалистов высказать свое мнение о важности обнаруженного свойства. Согласен на шнобелевскую премию, поэтому прошу высказываться по-существу. В конце дискуссии я покажу вариант использования этого свойства в практической деятельности людей.