задание: Вычислить полуоси гиперболы, если известно, что директрисы заданы уравнениями y=+-(5x/3) , и гипербола проходит через точку М(6;9).
Тут наверное ошибка. судя по уравнению это асимптота. но даже если взять оттуда полуоси a и b.
из этого уравнение а=корень из 5. b=2. но если подставить ихи координаты точки в уравнение гиперболы , то не выполняется равноть 1=1

Типичная ошибка:
если b/a=5/3, то сразу делается вывод, что b=5, a a=3.

А может b=10, a a=6?

Пишите каноническое уравнение гиперболы x^2/a^2-y^2/b^2=1,
тогда условие b/a=5/3 вместе с принадлежностью точки гиперболе даст вам систему двух уравнений с двумя неизвестными.