Здравствуйте!
Возник такой вопрос:
дана схемка

(IMG:http://rghost.ru/41127497/thumb.png)

я знаю ПРВ (плотность распределения вероятностей) в некоторых точках:

(IMG:http://rghost.ru/40968243/thumb.png)

В точках 5 и 6 ПРВ найдены через функциональные преобразования: k=y^2 и l=x^2.

Вопрос заключается в том, как будет выглядеть ПРВ в точке 7 P(m), т.е. для сигнала после сумматора, если сигнал обозначить m=k+l?

Заранее спасибо за ответы.

Ваши плотности в точках 3 и 4 есть плотности распределения Райса распределения Райса. См. особо раздел о связи с другими распределениями.

Оно же - корень из суммы квадратов двух независимых нормальных величин с матожиданиями U_ш* cos(ф), U_ш* sin(ф) и дисперсиями одинаковыми, сигма_n^2. Если каждую из этих нормальных величин поделить на сигма_n, то и корень из суммы их квадратов поделится на сигма_n, и получится распределение Райса с параметрами (U_ш / сигма_n, 1).
После возведения в квадрат получается нецентральное распределение хи-квадрат с параметром нецентральности U_ш / сигма_n и двумя степенями свободы. Ещё раз: это распределение величины, в сигма^2_n раз меньшей, чем складываются у Вас в точке 7.

После сложения ещё с одной такой же (т.е. в точке 7) получится нецентральное распределение хи-квадрат с тем же параметром нецентральности и 4 степенями свободы. Вот здесь можно найти какой-нибудь подходящий вид плотности. Не забудьте обратно умножить величину на сигма^2_n. Плотность при масштабировании изменится очень просто: плотность p_{cX}(t) = p_X (t/c)* (1/c).

malkolm, спасибо за ответ. Я знаю, что после ФНЧ ПРВ сигнала имеет вид ПРВ Райса.

Но я подхожу к решению данной задачи немного с другой стороны.
С помощью следующих соотношений я нашла ПРВ в точках 5 и 6 (Распределение произведения случайных величин):

(IMG:http://rghost.ru/40983765/thumb.png)

Во второй части рассмотрено Распределение суммы случайных величин. Я никак не могу связать его со своими формулами. Вот от ПРВ y к ПРВ y^2 я перейти смогла, как видите. А как перейти от двух ПРВ в точках 5 и 6 к ПРВ их суммы никак не соображу.

Плотность распределения суммы независимых случайных величин есть свёртка плотностей: http://teorver-online.narod.ru/teorver39.html

Т.е. такой вариант будет неверен?
(IMG:http://rghost.ru/40985141/image.png)

Проблема том, что у меня не получается сопоставить мои ПРВ и приведенные мной и Вами общие формулы.. (IMG:style_emoticons/default/bang.gif)

Нет, такой вариант никогда не будет верен, просто потому что он бессмысленен. Плотность распределения - функция вещественной переменной. То, что Вы написали - это функция какой вещественной переменной и как от ней зависит? k+l - это не переменная, а вообще случайная величина.

Знаете, в чём проблема у Вас? Как только плотность распределения любой случайной величины X у Вас из p(X) превратится в p_X(t), или p_X(z), или на худой конец в p_X(x), т.е. наконец появится функция, конкретным образом зависящая не от случайной величины (ей там нечего делать!), а от любой вещественной переменной, так все формулы в книжках сразу станут понятными. Случайная величина играет просто роль метки, если всяких плотностей много, чтоб отличать одну от другой.

Начните с самого начала: заметьте, что ПРВ в точках 3 и 4 - одна и та же функция.

Вообще в первом моем сообщении выше написано, что, почему и даже как следует делать, и ссылки на почти готовый ответ даны. Разбирайтесь, выписывать за Вас ответ я не стану.

malkolm, спасибо за попытку натолкнуть меня на умную мысль.

Здравствуйте еще раз.
Путем рассуждений и с помощью советов преподавателя пришла к следующему общему выражению для ПРВ суммы двух случайных процессов, имеющих каждая ПРВ Райса:

(IMG:http://rghost.ru/41122535/image.png)

Далее записываю, как выглядит модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка (с помощью книги Андре Анго "Математика для электро и радио инженеров"):

(IMG:http://rghost.ru/41122580/image.png)

Теперь упрощаю выражение для ПРВ:

(IMG:http://rghost.ru/41123041/image.png)

Вопрос в том, имею ли я право сокращать выражение на нижеследующей картинке вот так, или это некорректно?

(IMG:http://rghost.ru/41122671/image.png)

На последней картине знак модуля можно убрать, т.к. кв. корень из числа - число не отрицательное. Соответственно +- тоже уберите.

А как же случай мнимой единицы?..Или я уже в дебри лезу, и здесь это можно не учитывать?

А физически (логически) этот случай что будет означать?

k,w - любые значения могут принимать или нужно ввести ограничения исходя из смысла и не лезть в область комплексных чисел?

В моей задаче рассматривается прохождение смеси сигнала и гауссовского шума по цепи, которая представлена на первом рисунке в этой теме.
Мне кажется логично будет учитывать случай мнимой единицы, ведь рассматриваемый процесс существует и в комплексной плоскости.
Например, k имеет вид:

(IMG:http://rghost.ru/41127418/image.png)

А w - результат сложения k с подобным процессом, тоже подчиняющимся закону Райса.

Для проверки правильности Ваших преобразований в последней формуле.

Пусть k(w-k)=-4 Подставьте это в последнюю формулу. Если получиться тождество, то преобразовали верно.

НЕ ПОНИМАЮ. Какой смысл во всех этих интегралах, когда ответ выписывается сразу же.

Я не смогла выписать сразу же..Пришлось идти от общего выражения.

malkolm, Вы пытались меня натолкнуть на простой переход. Но я не смогла уловить ход Ваших мыслей. Может, если Вас не затруднит, поделитесь правильным выражением? А я бы на его основе поняла закономерность..

malkolm, не сочтите за простую лень. Я действительно пыталась разобраться с Вашими советами. Не вышло.

Мне нужно построить график для ПРВ в точке 7. Использую МАТКАД. По общему выражению (с кучей интегралов которое) он строит график ооочень долго (около 40 минут), да еще и график получается очень непрезентабельный:

(IMG:http://rghost.ru/41128705/image.png)

С пределами воевала - лучше картинки не выходит..И обрыв этот совсем тут не в тему..

Чтобы сдвинуться с мертвой точки, Ваш ответ был бы очень полезен.
Спасибо.

Там УЖЕ выписан ответ! Достаточно прочитать даже один последний абзац. Сходить по ссылке и сделать с любой формулой для плотности, какая Вас устроит, то, что написано в последней формуле абзаца. Вы не только не пытались разбираться, даже не читали.

Я не настаиваю, можете продолжать эти странные вычисления. Только я руки умываю.

Спасибо за ссылки на Википедию на английском языке. Вы бы еще погуглить посоветовали. Спасибо за вот это выражение, понятное лично Вам, но непонятное мне: p_{cX}(t) = p_X (t/c)* (1/c), т.к. по моему мнению, результат должен зависеть от w! А что такое с, Х, t в ВАШЕЙ формуле я не понимаю. Я думала, форум предназачен для ПОМОЩИ людям, столкнувшимся с трудностями, а не для кидания ссылок из Википедии. Это очень мило с Вашей стороны сказать, что я занимаюсь чушью и умыть руки. Еще раз благодарю за старания.

Если не секрет, то Вы по специальности кем будете?

Да на здоровье. Как можно помочь человеку, который не знает, что такое функция, и полагает, будто f(t)=t и f(y)=y суть две разные функции - я не знаю. А прежде чем задавать вопросы по теории вероятностей, не вредно бы хоть с азами ознакомиться. Выяснить, что такое случайная величина, плотность распределения и т.д. Вам уже говорилось, что плотность - не функция от случайной величины, а функция от вещественной переменной. Вы в упор этого слышать не хотите. Ну так не спрашивайте тогда ничего, ковыряйтесь сами в своих глупостях.

А уж признаваться в том, что Вы ни бум-бум в английском, в приличном обществе - моветон.

Да, и прекратите истерить. Начните разбираться с предметом.


Да никем не будет. С таким-то подходом к узнаванию нового.

З.Ы. Воспользоваться, что ли, однажды своими правами и закрыть тему? По причине агрессивного невежества вопрошающего?