В некоторых учебниках, например Курош "Курс высшей алгебры", указано такое определение ранга матирицы:

Число столбцов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов, называется рангом матрицы.

Затем указывается теорема о ранге матрицы:

Наивысший порядок отличных от 0 миноров равен рангу этой матрицы

И как следствие:
Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т е равно рангу этой матрицы.


Но ведь можно легко придумать пример, когда количество линейно независимых строк и столбцов в матрице будет различаться.
Почему дается такое опрделение?


Пример:
В матрице 3 линейно независимых столбца и две строки. Максимальный порядок минора = 2, теорема и определение противоречат?
1 2 3
4 5 1
7 11 10

В естественных науках, в отличие от гуманитарных, с определениями не спорят. Их цель дать понять, что имеет ввиду тот или иной человек, потому их формулировка в разных учебниках может быть разной. Лично мне нравится та которая дана здесь, а та которую вы привели, сложновата.